Resolva as integrais indefinidas abaixo, usando o método de substituição de variáveis:
\int \frac{\operatorname{sec} (\sqrt{x}) \operatorname{tg}(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} d x

Passo 1

O objetivo é calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sec}\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,\tan\bigl(\sqrt{x}\bigr)}{2\sqrt{x}}\,dx.
O método escolhido é substituição de variável, aproveitando que a derivada de \sqrt{x} gera o fator 1/(2\sqrt{x}).

Passo 2

Fazemos a troca
u = \sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad du = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{2\sqrt{x}} = du.
Substituindo na integral, temos
\int \frac{\operatorname{sec}\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,\tan\bigl(\sqrt{x}\bigr)}{2\sqrt{x}}\,dx = \int \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,du.

Passo 3

Sabendo que
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{sec}(u)\bigr] = \operatorname{sec}(u)\,\tan(u),
concluímos
\int \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,du = \operatorname{sec}(u) + C.

Resposta

\operatorname{sec}(\sqrt{x}) + C

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