Resolva as integrais indefinidas abaixo, usando o método de substituição de variáveis:
\int \frac{e^{4 x}}{\left(1+3 e^{4 x}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular, por substituição, a integral indefinida
\int \frac{e^{4x}}{\bigl(1+3e^{4x}\bigr)^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar uma mudança de variável u=u(x) que simplifique o denominador ao ponto de nos restar uma potência simples em u.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 + 3e^{4x}.
Agora calculamos du. Como \frac{d}{dx}(3e^{4x}) = 3\cdot4e^{4x}=12e^{4x}, temos
du = 12\,e^{4x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{4x}\,dx = \frac{du}{12}.

Passo 3

Substituindo na integral original, o numerador e^{4x}\,dx vira \tfrac{du}{12} e o denominador \bigl(1+3e^{4x}\bigr)^{2} vira u^{2}. Assim,
\int \frac{e^{4x}}{\bigl(1+3e^{4x}\bigr)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\;\frac{du}{12} = \frac{1}{12}\,\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int u^{-2}\,du = \int u^{-2}\,du = -\,u^{-1} + C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{12}, obtemos
\frac{1}{12}\,\bigl(-u^{-1}\bigr) + C = -\frac{1}{12\,u} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, lembramos que u = 1 + 3e^{4x}. Logo a primitiva é
-\frac{1}{12\,\bigl(1+3e^{4x}\bigr)} + C.

Resposta

\int \frac{e^{4x}}{\bigl(1+3e^{4x}\bigr)^{2}}\,dx = -\frac{1}{12\,\bigl(1+3e^{4x}\bigr)} + C.

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