Resolva as integrais indefinidas.
4. \int \frac{x \sqrt{1+\operatorname{cotg}\left(x^{2}+1\right)}}{\sin ^{2}\left(x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x \,\sqrt{1+\cot(x^2+1)}}{\sin^2(x^2+1)}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2 + 1, \qquad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Assim a integral passa a ser
\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{1+\cot(u)}}{\sin^2(u)}\,du.

Passo 3

Note que \csc^2(u)=1/\sin^2(u) e que d(\cot(u))=-\csc^2(u)\,du. Logo aparece o fator \sqrt{1+\cot(u)} junto com \csc^2(u), sugerindo nova substituição.

Passo 4

Definimos
w = 1 + \cot(u), \qquad dw = -\csc^2(u)\,du \;\Longrightarrow\; \csc^2(u)\,du = -\,dw.
Então
\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{1+\cot(u)}}{\sin^2(u)}\,du = \frac{1}{2}\int \sqrt{w}\,(-dw) = -\frac{1}{2}\int w^{1/2}\,dw.

Passo 5

Integramos em w:
-\frac{1}{2}\int w^{1/2}\,dw = -\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}w^{3/2} + C = -\frac{1}{3}w^{3/2} + C.

Passo 6

Voltando às variáveis originais, w=1+\cot(u) e u=x^2+1, obtemos
\int \frac{x \,\sqrt{1+\cot(x^2+1)}}{\sin^2(x^2+1)}\,dx = -\frac{1}{3}\bigl(1+\cot(x^2+1)\bigr)^{3/2} + C.

Resposta

-\frac{1}{3}\bigl(1+\cot(x^2+1)\bigr)^{3/2} + C.

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