Calcule o trabalho realizado pela força \mathbf{F} ao longo da curva C. Considere os seguintes casos:
Encontre o trabalho realizado pelo campo de força \mathbf{F} dada pelo gradiente de f(x, y)=(x+y)^{2}, no movimento circular anti-horário dado por \mathbf{r}(t)=(2 \cos t, 2 \sin t)
(a) t \in[0,2 \pi] (um volta completa)
(b) t \in[0, \pi / 4]

Passo 1

O enunciado dá o campo de força \mathbf{F} que é o gradiente de
f(x,y) = (x+y)^{2},
portanto
\mathbf{F} = \nabla f
e a curva é
\mathbf{r}(t) = \bigl(2\cos t,\;2\sin t\bigr).
O conteúdo é trabalho de um campo conservativo, que podemos calcular via diferença de energia potencial.

Passo 2

Como \mathbf{F} é um campo conservativo, o trabalho ao longo de C de t=a até t=b vale
\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f\bigl(\mathbf{r}(b)\bigr) - f\bigl(\mathbf{r}(a)\bigr).

Passo 3

Caso (a): t\in[0,2\pi]. A curva é fechada, então \mathbf{r}(2\pi)=\mathbf{r}(0) e
W = f\bigl(\mathbf{r}(2\pi)\bigr) - f\bigl(\mathbf{r}(0)\bigr) = 0.

Passo 4

Caso (b): t\in[0,\pi/4]. Calculamos
\mathbf{r}(0) = (2,0),\quad f\bigl(\mathbf{r}(0)\bigr) = (2+0)^{2} = 4,
\mathbf{r}(\tfrac{\pi}{4}) = \bigl(\sqrt{2},\sqrt{2}\bigr),\quad f\bigl(\mathbf{r}(\tfrac{\pi}{4})\bigr) = \bigl(\sqrt{2}+\sqrt{2}\bigr)^{2} = (2\sqrt{2})^{2}=8.
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W = 8 - 4 = 4.

Resposta

(a) 0
(b) 4

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