Resolva as integrais indefinidas:
\int 3 \sqrt{x}-4 d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int (3\sqrt{x}-4)\,dx.
Informações dadas: a integranda é composta por duas parcelas, \,3\sqrt{x}\, e -4. A resposta deve ser uma primitiva (antiderivada) dessa função, i.e. uma função cuja derivada seja 3\sqrt{x}-4, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Linearidade da integral: para constantes a e b e funções f e g,
\int \big(a\,f(x)+b\,g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Isto diz que podemos integrar cada parcela separadamente e puxar constantes para fora da integral.
  • Regra da potência (para integração): para qualquer expoente n com n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é o expoente de x. Essa fórmula vem invertendo a regra da derivada \dfrac{d}{dx}x^{n+1}=(n+1)x^{n}.
  • Integração de constante: para constante k,
\int k\,dx = kx + C.

Passo 3

Primeiro transforme a raiz em potência, porque a regra da potência é direta com expoentes:
\sqrt{x} = x^{1/2}.
Então a integral fica
\int (3\sqrt{x}-4)\,dx = \int \big(3x^{1/2}-4\big)\,dx.
Pela linearidade,
\int \big(3x^{1/2}-4\big)\,dx = 3\int x^{1/2}\,dx - 4\int 1\,dx.

Passo 4

Aplique a regra da potência à primeira integral. Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2}+C.
Multiplicando por 3 (constante que estava fora),
3\int x^{1/2}\,dx = 3\cdot\frac{2}{3}x^{3/2} = 2x^{3/2}.

Passo 5

Aplique a integração da constante à segunda parcela:
\int 1\,dx = x + C,
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-4\int 1\,dx = -4x.

Passo 6

Combine as duas primitivas obtidas e inclua a constante de integração geral C:
a primitiva da integranda é 2x^{3/2}-4x + C.

Passo 7

Verificação rápida (controle): calcule a derivada de 2x^{3/2}-4x:
\frac{d}{dx}\big(2x^{3/2}-4x\big) = 2\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}-4 = 3x^{1/2}-4,
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta. Força aí — você já tem a técnica: transformar raízes em potências e usar a regra da potência!

Resposta

2x^{3/2}-4x+C

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