Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{4+5 e^{3 x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende para +\infty:
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{4+5e^{3x}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é a razão entre e^{x} (numerador) e 4+5e^{3x} (denominador).
  • Deve-se encontrar o valor numérico do limite quando x\to\infty.

Passo 2

Ideia básica (intuitiva) antes de mexer nas contas: quando x\to\infty as potências exponenciais crescem muito rápido. Aqui há e^{x} no numerador e e^{3x} no denominador. Como
e^{3x}=(e^{x})^{3},
o termo e^{3x} cresce muito mais rápido que e^{x}. Portanto espera-se que o denominador domine o numerador e que a fração tenda a zero. Agora vamos fazer isso de forma algébrica, passo a passo, sem pular etapas.

Passo 3

Fatoramos (ou dividimos numerador e denominador) por e^{3x} — operação válida porque e^{3x}>0 para todo x. Assim:
\frac{e^{x}}{4+5e^{3x}}=\frac{\dfrac{e^{x}}{e^{3x}}}{\dfrac{4}{e^{3x}}+\dfrac{5e^{3x}}{e^{3x}}}=\frac{e^{-2x}}{4e^{-3x}+5}.
Expliquei cada divisão: \dfrac{e^{x}}{e^{3x}}=e^{x-3x}=e^{-2x} e \dfrac{4}{e^{3x}}=4e^{-3x}, enquanto \dfrac{5e^{3x}}{e^{3x}}=5.

Passo 4

Estudo dos limites das partes exponenciais: quando x\to\infty temos
\lim_{x\to\infty}e^{-2x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\infty}e^{-3x}=0,
porque os expoentes -2x e -3x vão para -\infty e e^{t}\to0 quando t\to-\infty. (Se quiser visualizar: para x=10, e^{-20} já é um número extremamente pequeno.)

Passo 5

Agora aplicamos esses limites na expressão reescrita:
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{-2x}}{4e^{-3x}+5}=\frac{\lim_{x\to\infty}e^{-2x}}{\lim_{x\to\infty}\bigl(4e^{-3x}+5\bigr)}=\frac{0}{4\cdot 0+5}=\frac{0}{5}=0.
Aqui usei que o limite do denominador é 5 (não nulo), então a divisão é válida.

Passo 6

Interpretação final e dica prática para a prova: sempre que tiveres uma fração com exponenciais de diferentes expoentes, podes comparar os expoentes para ver qual termo domina — o maior expoente positivo no infinito domina. Outra técnica padrão (a que usei) é dividir numerador e denominador pelo maior termo exponencial para obter potências decrescentes e^{-kx} que vão para zero. Fora da prova, pense: e^{3x} cresce muito mais rápido que e^{x}, então a fração tende a zero.

Resposta

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