Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende para
:
Informações dadas e o que é pedido:
- A função é a razão entre
(numerador) e (denominador). - Deve-se encontrar o valor numérico do limite quando
.
Passo 2
Ideia básica (intuitiva) antes de mexer nas contas: quando
as potências exponenciais crescem muito rápido. Aqui há
no numerador e
no denominador. Como
o termo
cresce muito mais rápido que
. Portanto espera-se que o denominador domine o numerador e que a fração tenda a zero. Agora vamos fazer isso de forma algébrica, passo a passo, sem pular etapas.
Passo 3
Fatoramos (ou dividimos numerador e denominador) por
— operação válida porque
para todo
. Assim:
Expliquei cada divisão:
e
, enquanto
.
Passo 4
Estudo dos limites das partes exponenciais: quando
temos
porque os expoentes
e
vão para
e
quando
. (Se quiser visualizar: para
,
já é um número extremamente pequeno.)
Passo 5
Agora aplicamos esses limites na expressão reescrita:
Aqui usei que o limite do denominador é
(não nulo), então a divisão é válida.
Passo 6
Interpretação final e dica prática para a prova: sempre que tiveres uma fração com exponenciais de diferentes expoentes, podes comparar os expoentes para ver qual termo domina — o maior expoente positivo no infinito domina. Outra técnica padrão (a que usei) é dividir numerador e denominador pelo maior termo exponencial para obter potências decrescentes
que vão para zero. Fora da prova, pense:
cresce muito mais rápido que
, então a fração tende a zero.
Resposta
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