Resolva as integrais indefinidas a seguir:
\int\left(1+x^{2}\right)^{-1} \mathrm{dx}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (1 + x^{2})^{-1} \,\mathrm{d}x.
O conteúdo aqui é reconhecimento de uma primitiva padrão: sabemos da teoria de derivadas que a função \arctan(x) satisfaz
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl[\arctan(x)\bigr] = \frac{1}{1 + x^{2}}.
Logo, para encontrar a antiderivada de (1+x^2)^{-1}, basta usar essa informação.

Passo 2

Como \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\arctan(x)] = (1 + x^{2})^{-1}, concluímos imediatamente que
\int (1 + x^{2})^{-1} \,\mathrm{d}x = \arctan(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\arctan(x) + C

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