Calcule as derivadas de primeira ordem abaixo:
y=x^{8}+(2 x+4)^{3}+\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem de
y = x^{8} + (2x+4)^{3} + \sqrt{x}.
O que vamos usar: regra do poder para x^{n} e regra da cadeia para composições.

Passo 2

Calculando \frac{d}{dx}x^{8} pela regra do poder (se f(x)=x^{n}, então f'(x)=n\,x^{n-1}):
\frac{d}{dx}x^{8} = 8\,x^{7}.

Passo 3

Para \frac{d}{dx}(2x+4)^{3} usamos a cadeia. Seja u=2x+4, então f(u)=u^{3}. Temos
\frac{d}{dx}(2x+4)^{3} = f'(u)\cdot\frac{du}{dx} = 3\,u^{2}\cdot2 = 6\,(2x+4)^{2}.

Passo 4

Para \frac{d}{dx}\sqrt{x}, escrevemos \sqrt{x}=x^{1/2} e aplicamos o poder com n=\tfrac12:
\frac{d}{dx}x^{1/2} = \tfrac12\,x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Somando as derivadas de cada termo, obtemos
y' = 8\,x^{7} \;+\; 6\,(2x+4)^{2} \;+\; \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Resposta

y' = 8x^{7} + 6\,(2x+4)^{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}}.

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