Resolva as integrais indefinidas a seguir por meio da Integração por Partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
usando a técnica indicada: integração por partes
.
Informações dadas: a função a integrar é e não há restrições sobre
. O objetivo é obter uma primitiva (antiderivada) geral, com constante de integração.
Informações dadas: a função a integrar é
Passo 2
Vamos recordar a fórmula da integração por partes e o que cada símbolo significa. A fórmula é
Aqui:
-
é uma função escolhida que vamos derivar para obter . -
é a parte que vamos integrar para obter . -
é a derivada de multiplicada por . -
é uma primitiva de .
A ideia prática: escolhemos
de forma que
fique mais simples, e escolhemos
de forma que seja fácil achar
. No caso de logaritmos, costuma-se escolher o logaritmo como
, porque sua derivada é simples.
Passo 3
Escolha das partes para aplicar a fórmula:
Agora computamos
e
.
Derivando
:
Integrando
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
obtidos:
Simplificando o integrando:
Então
Passo 5
Para integrar
fazemos uma simplificação algébrica:
Portanto
Passo 6
Calculamos as integrais simples:
Logo
Voltando à expressão do Passo 4:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Simplificando:
Uma verificação rápida (opcional): derivando o resultado obtido,
o que confirma que encontramos uma primitiva correta.