Resolva as integrais indefinidas a seguir por meio da Integração por Partes: u \cdot v-\int v d u
\int \ln \left(x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \ln\left(x^{2}+1\right)\,dx usando a técnica indicada: integração por partes \displaystyle u\cdot v-\int v\,du.
Informações dadas: a função a integrar é \ln\left(x^{2}+1\right) e não há restrições sobre x. O objetivo é obter uma primitiva (antiderivada) geral, com constante de integração.

Passo 2

Vamos recordar a fórmula da integração por partes e o que cada símbolo significa. A fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função escolhida que vamos derivar para obter du.
  • dv é a parte que vamos integrar para obter v.
  • du é a derivada de u multiplicada por dx.
  • v é uma primitiva de dv.
A ideia prática: escolhemos u de forma que du fique mais simples, e escolhemos dv de forma que seja fácil achar v. No caso de logaritmos, costuma-se escolher o logaritmo como u, porque sua derivada é simples.

Passo 3

Escolha das partes para aplicar a fórmula:
u = \ln\left(x^{2}+1\right),\qquad dv = dx.
Agora computamos du e v.
Derivando u:
du = \frac{d}{dx}\left[\ln\left(x^{2}+1\right)\right]\,dx = \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.
Integrando dv:
v = \int dv = \int dx = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
\int \ln\left(x^{2}+1\right)\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du obtidos:
\int \ln\left(x^{2}+1\right)\,dx = x\ln\left(x^{2}+1\right) - \int x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.
Simplificando o integrando:
x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1} = \frac{2x^{2}}{x^{2}+1}.
Então
\int \ln\left(x^{2}+1\right)\,dx = x\ln\left(x^{2}+1\right) - 2\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 5

Para integrar \displaystyle \int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx fazemos uma simplificação algébrica:
\frac{x^{2}}{x^{2}+1} = \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1} = 1 - \frac{1}{x^{2}+1}.
Portanto
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx = \int\left(1 - \frac{1}{x^{2}+1}\right)\,dx = \int 1\,dx - \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 6

Calculamos as integrais simples:
\int 1\,dx = x,
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x.
Logo
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx = x - \arctan x.
Voltando à expressão do Passo 4:
\int \ln\left(x^{2}+1\right)\,dx = x\ln\left(x^{2}+1\right) - 2\bigl(x - \arctan x\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Simplificando:
\int \ln\left(x^{2}+1\right)\,dx = x\ln\left(x^{2}+1\right) - 2x + 2\arctan x + C.
Uma verificação rápida (opcional): derivando o resultado obtido,
\frac{d}{dx}\bigl[x\ln(x^{2}+1)-2x+2\arctan x\bigr] = \ln(x^{2}+1),
o que confirma que encontramos uma primitiva correta.

Resposta

x\ln\left(x^{2}+1\right)-2x+2\arctan x + C

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