Resolva as integrais indefinidas a seguir por meio da Integração por Partes: u \cdot v-\int v d u
\int\left(x^{2}+2 x+1\right) \cdot e^{7 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+2x+1\right)\cdot e^{7x}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
\text{integrando}=\left(x^{2}+2x+1\right)\cdot e^{7x}.
É uma integral indefinida (deve aparecer uma constante de integração C). A instrução é usar a fórmula da integração por partes \int u\,dv = u v - \int v\,du.

Passo 2

Relembrando a fórmula da integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para derivar (geralmente algo que simplifique ao derivar) e dv é a parte que integramos para obter v. A estratégia clássica para produto de polinômio por exponencial é escolher u como o polinômio (porque sua derivada tem grau menor) e dv como a exponencial.
Escolho:
u = x^{2}+2x+1,\qquad dv = e^{7x}\,dx.
Calculo du e v:
du = (2x+2)\,dx,
v = \int e^{7x}\,dx = \frac{1}{7}e^{7x}.
(Explicação curta: \frac{d}{dx}e^{7x}=7e^{7x}, portanto a integral é \frac{1}{7}e^{7x}.)

Passo 3

Aplico a fórmula da integração por partes:
\int (x^{2}+2x+1)e^{7x}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int (x^{2}+2x+1)e^{7x}\,dx = \left(x^{2}+2x+1\right)\cdot\frac{1}{7}e^{7x} - \int \frac{1}{7}e^{7x}(2x+2)\,dx.
Fatorando constantes:
= \frac{e^{7x}}{7}(x^{2}+2x+1) - \frac{1}{7}\int (2x+2)e^{7x}\,dx.
Observando (2x+2)=2(x+1), simplifico a integral restante:
= \frac{e^{7x}}{7}(x^{2}+2x+1) - \frac{2}{7}\int (x+1)e^{7x}\,dx.

Passo 4

Agora preciso calcular \int (x+1)e^{7x}\,dx. Faço outra integração por partes, escolhendo novamente o polinômio como u:
u = x+1,\qquad dv = e^{7x}\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = \frac{1}{7}e^{7x}.
Aplicando a fórmula:
\int (x+1)e^{7x}\,dx = (x+1)\cdot\frac{1}{7}e^{7x} - \int \frac{1}{7}e^{7x}\,dx.
Calculo a integral que sobrou:
\int \frac{1}{7}e^{7x}\,dx = \frac{1}{7}\cdot\frac{1}{7}e^{7x} = \frac{1}{49}e^{7x}.
Portanto
\int (x+1)e^{7x}\,dx = \frac{e^{7x}}{7}(x+1) - \frac{e^{7x}}{49}.

Passo 5

Substituo esse resultado na expressão do Passo 3:
\int (x^{2}+2x+1)e^{7x}\,dx = \frac{e^{7x}}{7}(x^{2}+2x+1) - \frac{2}{7}\left[\frac{e^{7x}}{7}(x+1) - \frac{e^{7x}}{49}\right] + C.
Distribuo -\frac{2}{7}:
= \frac{e^{7x}}{7}(x^{2}+2x+1) - \frac{2e^{7x}}{49}(x+1) + \frac{2e^{7x}}{343} + C.
Agora junto os termos como um único fator e^{7x}. Primeiro escrevo os coeficientes com denominador comum 343:
\frac{1}{7} = \frac{49}{343},\qquad \frac{2}{49} = \frac{14}{343},\qquad \frac{2}{343}=\frac{2}{343}.
Coeficiente de x^{2}:
\frac{1}{7} = \frac{49}{343}.
Coeficiente de x:
\frac{2}{7} - \frac{2}{49} = \frac{98-14}{343} = \frac{84}{343}.
Termo constante:
\frac{1}{7} - \frac{2}{49} + \frac{2}{343} = \frac{49-14+2}{343} = \frac{37}{343}.
Portanto, reorganizando:
\int (x^{2}+2x+1)e^{7x}\,dx = \frac{e^{7x}}{343}\left(49x^{2}+84x+37\right) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{7x}}{343}\left(49x^{2}+84x+37\right)+C

Exercícios relacionados