Resolva as integrais indefinidas a seguir por meio da Integração por Partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas:
É uma integral indefinida (deve aparecer uma constante de integração
). A instrução é usar a fórmula da integração por partes
.
Passo 2
Relembrando a fórmula da integração por partes:
Aqui
é uma função que escolhemos para derivar (geralmente algo que simplifique ao derivar) e
é a parte que integramos para obter
. A estratégia clássica para produto de polinômio por exponencial é escolher
como o polinômio (porque sua derivada tem grau menor) e
como a exponencial.
Escolho:
Calculo
e
:
(Explicação curta:
, portanto a integral é
.)
Passo 3
Aplico a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Fatorando constantes:
Observando
, simplifico a integral restante:
Passo 4
Agora preciso calcular
. Faço outra integração por partes, escolhendo novamente o polinômio como
:
Então
Aplicando a fórmula:
Calculo a integral que sobrou:
Portanto
Passo 5
Substituo esse resultado na expressão do Passo 3:
Distribuo
:
Agora junto os termos como um único fator
. Primeiro escrevo os coeficientes com denominador comum
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Termo constante:
Portanto, reorganizando: