Resolva as integrais indefinidas a seguir por meio da Integração por Partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
usando a fórmula da integração por partes indicada:
.
Informações dadas: a função integranda é e devemos aplicar integração por partes possivelmente mais de uma vez.
Informações dadas: a função integranda é
Passo 2
Vamos recordar a fórmula da integração por partes e de onde ela vem. A regra do produto para derivadas diz que, se
e
são diferenciáveis, então
Integrando ambos os lados em
obtemos
Rearranjando, a fórmula da integração por partes é
Interpretação dos símbolos:
-
é a parte que vamos diferenciar (gera ou ); -
é a parte que vamos integrar (gera ou ); -
é e é a primitiva de .
A estratégia prática: escolher
de forma que
fique simples; escolher
de forma que possamos calcular
facilmente.
Passo 3
Denotemos
Escolhemos, de forma conveniente,
e
. Agora calculamos
e
:
e
Observe que ao integrar
usamos a primitiva
com
.
Passo 4
Aplicando integração por partes (
) obtemos:
Simplificando constantes:
Definimos agora
para não ficar repetindo a integral.
Então
Passo 5
Agora calculamos
por integração por partes também. Escolhemos novamente
e
. Então
pois
.
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Mas
é precisamente
, então
Passo 6
Substituímos a expressão de
na equação de
do Passo 4:
Agora expandimos os termos:
Calcule as constantes:
Portanto
Passo 7
Isolamos
somando
em ambos os lados:
Somando os coeficientes à esquerda:
Logo
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando os fatores dentro do parêntese:
Portanto
Colocando em forma comum: