Resolva as integrais indefinidas a seguir por meio da Integração por Partes: u \cdot v-\int v d u
\int e^{9 x} \cdot \cos (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{9x}\cos(2x)\,dx
usando a fórmula da integração por partes indicada: u\cdot v-\int v\,du.
Informações dadas: a função integranda é e^{9x}\cos(2x) e devemos aplicar integração por partes possivelmente mais de uma vez.

Passo 2

Vamos recordar a fórmula da integração por partes e de onde ela vem. A regra do produto para derivadas diz que, se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em x obtemos
\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x).
Rearranjando, a fórmula da integração por partes é
\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)\,dx.
Interpretação dos símbolos:
  • u(x) é a parte que vamos diferenciar (gera u'(x) ou du);
  • v'(x)\,dx é a parte que vamos integrar (gera v(x) ou dv);
  • du é u'(x)\,dx e v é a primitiva de v'(x).
A estratégia prática: escolher u de forma que du fique simples; escolher dv de forma que possamos calcular v=\int dv facilmente.

Passo 3

Denotemos
I=\int e^{9x}\cos(2x)\,dx.
Escolhemos, de forma conveniente, u=e^{9x} e dv=\cos(2x)\,dx. Agora calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}e^{9x}\,dx = 9e^{9x}\,dx
e
v = \int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x).
Observe que ao integrar \cos(2x) usamos a primitiva \int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\sin(kx) com k=2.

Passo 4

Aplicando integração por partes ( \int u\,dv = uv - \int v\,du) obtemos:
I = u v - \int v\,du = e^{9x}\cdot\frac{1}{2}\sin(2x) - \int \frac{1}{2}\sin(2x)\cdot 9e^{9x}\,dx.
Simplificando constantes:
I = \frac{1}{2}e^{9x}\sin(2x) - \frac{9}{2}\int e^{9x}\sin(2x)\,dx.
Definimos agora
J=\int e^{9x}\sin(2x)\,dx,
para não ficar repetindo a integral.
Então
I = \frac{1}{2}e^{9x}\sin(2x) - \frac{9}{2}J.

Passo 5

Agora calculamos J por integração por partes também. Escolhemos novamente u=e^{9x} e dv=\sin(2x)\,dx. Então
du=9e^{9x}\,dx, \qquad v=\int \sin(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x),
pois \int \sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx).
Aplicando integração por partes:
J = u v - \int v\,du = e^{9x}\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) - \int \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)9e^{9x}\,dx.
Simplificando:
J = -\frac{1}{2}e^{9x}\cos(2x) + \frac{9}{2}\int e^{9x}\cos(2x)\,dx.
Mas \int e^{9x}\cos(2x)\,dx é precisamente I, então
J = -\frac{1}{2}e^{9x}\cos(2x) + \frac{9}{2}I.

Passo 6

Substituímos a expressão de J na equação de I do Passo 4:
I = \frac{1}{2}e^{9x}\sin(2x) - \frac{9}{2}\Big(-\frac{1}{2}e^{9x}\cos(2x) + \frac{9}{2}I\Big).
Agora expandimos os termos:
I = \frac{1}{2}e^{9x}\sin(2x) + \frac{9}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{9x}\cos(2x) - \frac{9}{2}\cdot\frac{9}{2}I.
Calcule as constantes:
\frac{9}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{9}{4},\qquad \frac{9}{2}\cdot\frac{9}{2} = \frac{81}{4}.
Portanto
I = \frac{1}{2}e^{9x}\sin(2x) + \frac{9}{4}e^{9x}\cos(2x) - \frac{81}{4}I.

Passo 7

Isolamos I somando \frac{81}{4}I em ambos os lados:
I + \frac{81}{4}I = \frac{1}{2}e^{9x}\sin(2x) + \frac{9}{4}e^{9x}\cos(2x).
Somando os coeficientes à esquerda:
\left(1+\frac{81}{4}\right)I = \left(\frac{4}{4}+\frac{81}{4}\right)I = \frac{85}{4}I.
Logo
\frac{85}{4}I = e^{9x}\!\left(\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{9}{4}\cos(2x)\right).
Multiplicando ambos os lados por \frac{4}{85}:
I = \frac{4}{85}\,e^{9x}\!\left(\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{9}{4}\cos(2x)\right).
Simplificando os fatores dentro do parêntese:
\frac{4}{85}\cdot\frac{1}{2} = \frac{2}{85},\qquad \frac{4}{85}\cdot\frac{9}{4} = \frac{9}{85}.
Portanto
I = e^{9x}\left(\frac{2}{85}\sin(2x)+\frac{9}{85}\cos(2x)\right) + C.
Colocando em forma comum:
I = \frac{e^{9x}}{85}\big(2\sin(2x)+9\cos(2x)\big) + C.

Resposta

\frac{e^{9x}}{85}\big(2\sin(2x)+9\cos(2x)\big)+C

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