Resolva as integrais indefinidas a seguir por meio da Integração por Partes: u \cdot v-\int v d u
\int\left(\frac{x}{\sqrt{x+1}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \left(\frac{x}{\sqrt{x+1}}\right)\,dx.
Também foi informado que devemos usar a fórmula sugerida (integração por partes):
u\cdot v-\int v\,du.
Dados relevantes: o integrando é \dfrac{x}{\sqrt{x+1}} = x\,(x+1)^{-1/2}. Não há outras informações externas.

Passo 2

Lembrete rápido sobre a fórmula de integração por partes: se escolhemos funções u(x) e dv(x) com derivadas/antiderivadas bem definidas, então
\int u\,dv = u\cdot v - \int v\,du.
Aqui du é a diferencial de u (ou seja, du = u'(x)\,dx) e v é uma primitiva de dv (ou seja, v' = dv/dx). A ideia prática é escolher u de forma que sua derivada du seja mais simples, e escolher dv de forma que consigamos achar v facilmente.

Passo 3

Escolhemos as partes do integrando:
u = x,\qquad dv = (x+1)^{-1/2}\,dx.
Agora calculamos du e v.
Derivando u:
du = dx.
Para achar v precisamos calcular \int (x+1)^{-1/2}\,dx. Usamos a regra da potência para primitiva: se \int (x+1)^{n}\,dx com n\neq -1, então
\int (x+1)^{n}\,dx = \frac{(x+1)^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}, logo
v = \int (x+1)^{-1/2}\,dx = \frac{(x+1)^{1/2}}{1/2} = 2\,(x+1)^{1/2} = 2\sqrt{x+1}.

Passo 4

Aplicando a fórmula por partes:
\int x\,(x+1)^{-1/2}\,dx = u\cdot v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx = x\cdot 2\sqrt{x+1} - \int 2\sqrt{x+1}\,dx.
Ou seja,
\int \frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx = 2x\sqrt{x+1} - 2\int (x+1)^{1/2}\,dx.

Passo 5

Calculamos a primitiva restante \int (x+1)^{1/2}\,dx pela regra da potência com n=\tfrac{1}{2}:
\int (x+1)^{1/2}\,dx = \frac{(x+1)^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2}.
Substituindo de volta:
\int \frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx = 2x\sqrt{x+1} - 2\cdot \frac{2}{3}(x+1)^{3/2}.
Portanto
\int \frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx = 2x\sqrt{x+1} - \frac{4}{3}(x+1)^{3/2} + C.

Passo 6

Podemos simplificar fatorando \sqrt{x+1}:
2x\sqrt{x+1} - \frac{4}{3}(x+1)^{3/2} = \sqrt{x+1}\left(2x - \frac{4}{3}(x+1)\right).
Calculando o parêntese:
2x - \frac{4}{3}(x+1) = \frac{6x - 4x -4}{3} = \frac{2x-4}{3} = \frac{2}{3}(x-2).
Logo uma forma mais compacta é
\int \frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx = \frac{2}{3}(x-2)\sqrt{x+1} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}(x-2)\sqrt{x+1}+C

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