Resolva as integrais indefinidas a seguir por meio da Integração por Partes:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Também foi informado que devemos usar a fórmula sugerida (integração por partes):
Dados relevantes: o integrando é
. Não há outras informações externas.
Passo 2
Lembrete rápido sobre a fórmula de integração por partes: se escolhemos funções
e
com derivadas/antiderivadas bem definidas, então
Aqui
é a diferencial de
(ou seja,
) e
é uma primitiva de
(ou seja,
). A ideia prática é escolher
de forma que sua derivada
seja mais simples, e escolher
de forma que consigamos achar
facilmente.
Passo 3
Escolhemos as partes do integrando:
Agora calculamos
e
.
Derivando :
Derivando
Para achar
precisamos calcular
. Usamos a regra da potência para primitiva: se
com
, então
Aqui
, logo
Passo 4
Aplicando a fórmula por partes:
Substituindo
,
e
:
Ou seja,
Passo 5
Calculamos a primitiva restante
pela regra da potência com
:
Substituindo de volta:
Portanto
Passo 6
Podemos simplificar fatorando
:
Calculando o parêntese:
Logo uma forma mais compacta é