Esboce e determine o volume do sólido obtido pela rotaçāo da regiāo limitada por y=x^{3}, y=9 x em torno do eixo x .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) esboçar a região limitada pelas curvas y=x^{3} e y=9x, e (ii) calcular o volume do sólido obtido pela rotação dessa região em torno do eixo x.
Informações dadas: as duas curvas são y=x^{3} e y=9x; o eixo de rotação é o eixo x.
Nada mais será assumido aqui — a resolução e o esboço começam no próximo passo.

Passo 2

Primeiro vamos achar os pontos de interseção entre as duas curvas, pois eles delimitam a região. Devemos resolver a equação
x^{3}=9x.
Colocando tudo num lado e fatorando:
x^{3}-9x=0,
x(x^{2}-9)=0,
x(x-3)(x+3)=0.
Portanto, as interseções ocorrem em x=-3, x=0 e x=3. Esses são os limites em x da região entre as curvas.

Passo 3

Para esboçar mentalmente (e para saber qual curva fica “por cima”), vamos comparar os valores das duas funções em intervalos entre as interseções.
  • Para um x entre -3 e 0, por exemplo x=-1: x^{3}=-1 e 9x=-9. Assim x^{3}>9x (porque -1>-9). Logo, no intervalo (-3,0) a curva y=x^{3} está acima de y=9x.
  • Para um x entre 0 e 3, por exemplo x=1: x^{3}=1 e 9x=9. Aqui x^{3}<9x. Logo, no intervalo (0,3) a curva y=9x está acima de y=x^{3}.
Observação sobre sinais: em (-3,0) ambas as funções são negativas (estão abaixo do eixo x); em (0,3) ambas são positivas. Isso importa quando giramos em torno do eixo x, porque o raio do disco é a distância vertical até o eixo x, ou seja, o valor absoluto de y.
Esboço (descritivo): as duas curvas se cruzam em -3,0,3. A curva cúbica y=x^{3} cruza a origem com inclinação positiva pequena perto de 0; a reta y=9x é muito inclinada. A região limitada fica entre essas curvas de -3 a 3, com uma “parte” abaixo do eixo entre -3 e 0 e outra acima do eixo entre 0 e 3.

Passo 4

Para calcular o volume de rotação em torno do eixo x vamos usar o método dos anéis (washers). A ideia: cada fatia fina perpendicular ao eixo x em x gera um anel de espessura dx, cujo volume aproximado é a área do anel vezes dx. A área do anel é a área do disco externo menos a área do disco interno:
dV=\pi\big(R(x)^{2}-r(x)^{2}\big)\,dx,
onde R(x) é o raio externo (a maior distância da região ao eixo x nessa abscissa) e r(x) é o raio interno (a menor distância da região ao eixo x nessa abscissa). Esses raios são simplesmente os valores das funções em módulo quando as funções estão abaixo do eixo, ou os próprios valores quando estão acima do eixo. Ao quadrar, o sinal desaparece, então frequentemente trabalhamos com R(x)^{2} e r(x)^{2} diretamente.

Passo 5

Determinamos R(x) e r(x) em cada subintervalo [-3,0] e [0,3].
  • Em [0,3] as duas funções são não-negativas e a que está acima é y=9x; portanto
    R(x)=9x,\qquad r(x)=x^{3},\quad x\in[0,3].
    O integrando será \pi\big((9x)^{2}-(x^{3})^{2}\big)=\pi\big(81x^{2}-x^{6}\big).
  • Em [-3,0] ambas as funções são negativas. A que está “mais baixa” (mais negativa) é y=9x e a que está “menos negativa” (mais próxima do eixo) é y=x^{3}. As distâncias ao eixo x são os valores absolutos: |9x| e |x^{3}|. Como x<0 aqui, |9x|=-9x e |x^{3}|=-x^{3}. Ao quadrar, (-9x)^{2}=(9x)^{2} e (-x^{3})^{2}=(x^{3})^{2}. Logo o integrando em [-3,0] também é
    \pi\big(81x^{2}-x^{6}\big).
Portanto, o integrando é o mesmo nos dois intervalos, e podemos integrar de -3 a 3 diretamente. Note também que a função 81x^{2}-x^{6} é par, então
V=\pi\int_{-3}^{3}\big(81x^{2}-x^{6}\big)\,dx =2\pi\int_{0}^{3}\big(81x^{2}-x^{6}\big)\,dx.

Passo 6

Agora calculamos a integral passo a passo. Primeiro a antiderivada:
\int\big(81x^{2}-x^{6}\big)\,dx =81\int x^{2}\,dx-\int x^{6}\,dx =81\cdot\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{7}}{7} =27x^{3}-\frac{x^{7}}{7}.
Avaliaremos de 0 a 3:
\left[27x^{3}-\frac{x^{7}}{7}\right]_{0}^{3} =27\cdot 3^{3}-\frac{3^{7}}{7}.
Calcule cada termo: 3^{3}=27 então 27\cdot 27=729. Também 3^{7}=2187. Logo
27\cdot 3^{3}-\frac{3^{7}}{7}=729-\frac{2187}{7}.
Colocando na mesma fração:
729-\frac{2187}{7}=\frac{729\cdot 7-2187}{7}=\frac{5103-2187}{7}=\frac{2916}{7}.
Assim
\int_{0}^{3}\big(81x^{2}-x^{6}\big)\,dx=\frac{2916}{7}.
Lembrando o fator 2\pi que tínhamos:
V=2\pi\cdot\frac{2916}{7}.

Passo 7

Simplificando o produto 2\cdot 2916:
2\cdot 2916=5832,
portanto o volume final, em unidades cúbicas, é
V=\frac{5832}{7}\pi.

Resposta

\displaystyle \frac{5832}{7}\pi

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