Esboce e determine o volume do sólido obtido pela rotaçāo da regiāo limitada por
em torno do eixo x .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) esboçar a região limitada pelas curvas
e
, e (ii) calcular o volume do sólido obtido pela rotação dessa região em torno do eixo
.
Informações dadas: as duas curvas são e
; o eixo de rotação é o eixo
.
Nada mais será assumido aqui — a resolução e o esboço começam no próximo passo.
Informações dadas: as duas curvas são
Nada mais será assumido aqui — a resolução e o esboço começam no próximo passo.
Passo 2
Primeiro vamos achar os pontos de interseção entre as duas curvas, pois eles delimitam a região. Devemos resolver a equação
Colocando tudo num lado e fatorando:
Portanto, as interseções ocorrem em
,
e
. Esses são os limites em
da região entre as curvas.
Passo 3
Para esboçar mentalmente (e para saber qual curva fica “por cima”), vamos comparar os valores das duas funções em intervalos entre as interseções.
- Para um
entre e , por exemplo : e . Assim (porque ). Logo, no intervalo a curva está acima de . - Para um
entre e , por exemplo : e . Aqui . Logo, no intervalo a curva está acima de .
Observação sobre sinais: em
ambas as funções são negativas (estão abaixo do eixo
); em
ambas são positivas. Isso importa quando giramos em torno do eixo
, porque o raio do disco é a distância vertical até o eixo
, ou seja, o valor absoluto de
.
Esboço (descritivo): as duas curvas se cruzam em
. A curva cúbica
cruza a origem com inclinação positiva pequena perto de 0; a reta
é muito inclinada. A região limitada fica entre essas curvas de
a
, com uma “parte” abaixo do eixo entre
e
e outra acima do eixo entre
e
.
Passo 4
Para calcular o volume de rotação em torno do eixo
vamos usar o método dos anéis (washers). A ideia: cada fatia fina perpendicular ao eixo
em
gera um anel de espessura
, cujo volume aproximado é a área do anel vezes
. A área do anel é a área do disco externo menos a área do disco interno:
onde
é o raio externo (a maior distância da região ao eixo
nessa abscissa) e
é o raio interno (a menor distância da região ao eixo
nessa abscissa). Esses raios são simplesmente os valores das funções em módulo quando as funções estão abaixo do eixo, ou os próprios valores quando estão acima do eixo. Ao quadrar, o sinal desaparece, então frequentemente trabalhamos com
e
diretamente.
Passo 5
Determinamos
e
em cada subintervalo
e
.
-
Em
as duas funções são não-negativas e a que está acima é ; portanto O integrando será. -
Em
ambas as funções são negativas. A que está “mais baixa” (mais negativa) é e a que está “menos negativa” (mais próxima do eixo) é . As distâncias ao eixo são os valores absolutos: e . Como aqui, e . Ao quadrar, e . Logo o integrando em também é
Portanto, o integrando é o mesmo nos dois intervalos, e podemos integrar de
a
diretamente. Note também que a função
é par, então
Passo 6
Agora calculamos a integral passo a passo. Primeiro a antiderivada:
Avaliaremos de
a
:
Calcule cada termo:
então
. Também
. Logo
Colocando na mesma fração:
Assim
Lembrando o fator
que tínhamos:
Passo 7
Simplificando o produto
:
portanto o volume final, em unidades cúbicas, é