Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que se pede:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - Trata-se de uma integral indefinida, então o resultado deve ser uma primitiva mais uma constante arbitrária
. - A única pergunta: encontrar uma antiderivada (primitiva) de
.
Passo 2
Observação sobre a forma do integrando (sem resolver ainda):
- Repare que
, então o denominador pode ser visto como . - Isso indica que a primitiva provavelmente envolve a função arco-tangente, porque a derivada de
é . - Vamos usar o método da substituição para transformar a integral numa forma padrão
.
Passo 3
Escolha da substituição:
- Definimos a nova variável
- Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
- Isolando
temos
Passo 4
Substituição na integral:
- Substituindo
e na integral original:
Passo 5
Calcular a integral padrão
:
- Conhecimento chave: a derivada da função arco-tangente é
- Uma maneira rápida de justificar: se
então e , logo . - Portanto
Passo 6
Voltar para a variável original
:
- Substituindo o resultado no passo anterior em
, obtemos
- Como
, a primitiva em termos de é
Passo 7
Verificação rápida (para ter certeza e treinar): derivamos a resposta para ver se voltamos ao integrando.
- Derivando
:
que é exatamente o integrando original. Tudo confere.