Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
\int\left(\frac{1}{1+16 x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{1}{1+16 x^{2}}\right) d x.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função a integrar é \dfrac{1}{1+16x^{2}}.
  • A variável de integração é x.
  • Trata-se de uma integral indefinida, então o resultado deve ser uma primitiva mais uma constante arbitrária C.
  • A única pergunta: encontrar uma antiderivada (primitiva) de \dfrac{1}{1+16x^{2}}.

Passo 2

Observação sobre a forma do integrando (sem resolver ainda):
  • Repare que 16x^{2}=(4x)^{2}, então o denominador pode ser visto como 1+(4x)^{2}.
  • Isso indica que a primitiva provavelmente envolve a função arco-tangente, porque a derivada de \arctan(u) é \dfrac{1}{1+u^{2}}.
  • Vamos usar o método da substituição para transformar a integral numa forma padrão \int \dfrac{1}{1+u^{2}}\,du.

Passo 3

Escolha da substituição:
  • Definimos a nova variável
u = 4x.
  • Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 4\,dx.
  • Isolando dx temos
dx = \frac{du}{4}.

Passo 4

Substituição na integral:
  • Substituindo u=4x e dx=\dfrac{du}{4} na integral original:
\int\left(\frac{1}{1+16 x^{2}}\right) dx = \int\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int\frac{1}{1+u^{2}}\,du.

Passo 5

Calcular a integral padrão \int \dfrac{1}{1+u^{2}}\,du:
  • Conhecimento chave: a derivada da função arco-tangente é
\frac{d}{du}\big(\arctan(u)\big)=\frac{1}{1+u^{2}}.
  • Uma maneira rápida de justificar: se y=\arctan(u) então u=\tan(y) e \dfrac{du}{dy}=\operatorname{sec}^{2}(y)=1+\tan^{2}(y)=1+u^{2}, logo \dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{1+u^{2}}.
  • Portanto
\int\frac{1}{1+u^{2}}\,du=\arctan(u)+C.

Passo 6

Voltar para a variável original x:
  • Substituindo o resultado no passo anterior em \dfrac{1}{4}\int\frac{1}{1+u^{2}}\,du, obtemos
\frac{1}{4}\arctan(u)+C.
  • Como u=4x, a primitiva em termos de x é
\frac{1}{4}\arctan(4x)+C.

Passo 7

Verificação rápida (para ter certeza e treinar): derivamos a resposta para ver se voltamos ao integrando.
  • Derivando \dfrac{1}{4}\arctan(4x):
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\arctan(4x)\right) = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1+(4x)^{2}}\cdot 4 = \frac{1}{1+16x^{2}},
que é exatamente o integrando original. Tudo confere.

Resposta

\dfrac{1}{4}\arctan(4x)+C

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