Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
\int\left(\frac{x}{\sqrt[5]{x^{2}+1}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{x}{\sqrt[5]{x^{2}+1}}\right) dx.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A função a integrar é \dfrac{x}{\sqrt[5]{x^{2}+1}}.
  • Queremos uma primitiva dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x}{\sqrt[5]{x^{2}+1}}.
  • Devemos apresentar a solução com a constante de integração C.

Passo 2

Por que pensar em uma substituição aqui? Observe a parte \sqrt[5]{x^{2}+1} no denominador: dentro dessa raiz aparece x^{2}+1, e a derivada de x^{2}+1 é 2x, que é praticamente o numerador x (difere só por uma constante). Isso é a dica clássica de substituição: se dentro de uma expressão complicada aparece uma função u(x) cuja derivada aparece multiplicando fora, a substituição u=u(x) simplifica a integral. Então vamos definir a substituição.

Passo 3

Faça a substituição
u = x^{2}+1.
Agora calcule du. Diferenciando ambos os lados em relação a x,
du = 2x\,dx.
Isolando x\,dx (pois ele aparece na integral original):
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Reescreva a integral original em termos de u. Primeiro note que
\sqrt[5]{x^{2}+1} = u^{1/5}.
Portanto a integral
\int \frac{x}{\sqrt[5]{x^{2}+1}}\,dx
fica, usando x\,dx=\dfrac{1}{2}du,
\int \frac{1}{u^{1/5}}\cdot\left(\frac{1}{2}\,du\right).
Colocando o fator constante para fora,
\frac{1}{2}\int u^{-1/5}\,du.

Passo 5

Integre usando a regra da potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{5}, então n+1=\tfrac{4}{5}. Aplicando a fórmula,
\int u^{-1/5}\,du=\frac{u^{4/5}}{4/5}+C=\frac{5}{4}\,u^{4/5}+C.

Passo 6

Multiplique pelo fator \tfrac{1}{2} que tínhamos fora da integral:
\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{4}\,u^{4/5}+C = \frac{5}{8}\,u^{4/5}+C.

Passo 7

Volte à variável original substituindo u=x^{2}+1:
\frac{5}{8}\,(x^{2}+1)^{4/5}+C.

Passo 8

Verificação rápida (para ficar seguro na prova): derive a primitiva encontrada para checar que volta ao integrando. Derivando
\frac{d}{dx}\left(\frac{5}{8}(x^{2}+1)^{4/5}\right)=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{5}(x^{2}+1)^{-1/5}\cdot 2x.
Simplificando constantes: \tfrac{5}{8}\cdot\tfrac{4}{5}= \tfrac{4}{8}=\tfrac{1}{2}, e \tfrac{1}{2}\cdot 2x = x. Logo a derivada é
x\,(x^{2}+1)^{-1/5}=\frac{x}{\sqrt[5]{x^{2}+1}},
que é exatamente o integrando. Está correto.

Resposta

\dfrac{5}{8}(x^{2}+1)^{4/5}+C

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