Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A função a integrar é
. - Queremos uma primitiva dessa função, isto é, uma função
tal que . - Devemos apresentar a solução com a constante de integração
.
Passo 2
Por que pensar em uma substituição aqui? Observe a parte
no denominador: dentro dessa raiz aparece
, e a derivada de
é
, que é praticamente o numerador
(difere só por uma constante). Isso é a dica clássica de substituição: se dentro de uma expressão complicada aparece uma função
cuja derivada aparece multiplicando fora, a substituição
simplifica a integral. Então vamos definir a substituição.
Passo 3
Faça a substituição
Agora calcule
. Diferenciando ambos os lados em relação a
,
Isolando
(pois ele aparece na integral original):
Passo 4
Reescreva a integral original em termos de
. Primeiro note que
Portanto a integral
fica, usando
,
Colocando o fator constante para fora,
Passo 5
Integre usando a regra da potência: para
,
Aqui
, então
. Aplicando a fórmula,
Passo 6
Multiplique pelo fator
que tínhamos fora da integral:
Passo 7
Volte à variável original substituindo
:
Passo 8
Verificação rápida (para ficar seguro na prova): derive a primitiva encontrada para checar que volta ao integrando. Derivando
Simplificando constantes:
, e
. Logo a derivada é
que é exatamente o integrando. Está correto.