Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas/relevantes:
- A variável de integração é
. - O integrando é
, ou seja . - Devemos usar o método da Substituição (já indicado no enunciado).
Passo 2
Ideia da Substituição (por que escolher a substituição): quando vemos um produto do tipo
vale a pena tentar
, porque
transforma tudo em potências de
. Aqui temos
multiplicando uma potência de
. Como a derivada de
é
, escolhemos
Agora calculamos
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
temos
Substituímos na integral original expressando tudo em
:
Passo 3
Aplicando a regra de integração para potências: a fórmula básica é, para
,
Explicando rapidamente por que: a derivada de
em relação a
é
, logo essa primitiva funciona. No nosso caso
, então
Como tínhamos um sinal negativo à frente, voltando ao cálculo:
Passo 4
Voltando à variável
usando
: substituímos
. Assim a primitiva fica
Podemos escrever de forma equivalente como
Passo 5
Verificação rápida (bom hábito na prova): derivando a resposta devemos recuperar o integrando. Derivando
usando a regra da cadeia:
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 6
Observações finais e dica para a prova: sempre que vir uma potência de
ou
multiplicada pela derivada da outra função, pense em
ou
. Aqui foi direto porque
aparece explicitamente; isso torna a substituição curta e segura. Força aí — você consegue!