Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
\int\left(\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos ^{5}(x)}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos^{5}(x)}\right)\,dx.
Informações dadas/relevantes:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{\cos^{5}(x)}, ou seja \operatorname{sen}(x)\cdot\cos^{-5}(x).
  • Devemos usar o método da Substituição (já indicado no enunciado).

Passo 2

Ideia da Substituição (por que escolher a substituição): quando vemos um produto do tipo f'(x)\,[f(x)]^{n} vale a pena tentar u=f(x), porque du=f'(x)\,dx transforma tudo em potências de u. Aqui temos \operatorname{sen}(x) multiplicando uma potência de \cos(x). Como a derivada de \cos(x) é -\operatorname{sen}(x), escolhemos
u=\cos(x).
Agora calculamos du. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = \frac{d}{dx}\big(\cos(x)\big)\,dx = -\operatorname{sen}(x)\,dx.
Isolando \operatorname{sen}(x)\,dx temos
\operatorname{sen}(x)\,dx = -du.
Substituímos na integral original expressando tudo em u:
\int\left(\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos^{5}(x)}\right)\,dx = \int \frac{\operatorname{sen}(x)\,dx}{\big(\cos(x)\big)^{5}} = \int \frac{-du}{u^{5}} = -\int u^{-5}\,du.

Passo 3

Aplicando a regra de integração para potências: a fórmula básica é, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{\,n+1}}{n+1} + C.
Explicando rapidamente por que: a derivada de \dfrac{u^{n+1}}{n+1} em relação a u é \dfrac{n+1}{n+1}u^{n}=u^{n}, logo essa primitiva funciona. No nosso caso n=-5, então
\int u^{-5}\,du = \frac{u^{-5+1}}{-5+1} + C = \frac{u^{-4}}{-4} + C.
Como tínhamos um sinal negativo à frente, voltando ao cálculo:
-\int u^{-5}\,du = -\left(\frac{u^{-4}}{-4}\right) + C = \frac{u^{-4}}{4} + C.

Passo 4

Voltando à variável x usando u=\cos(x): substituímos u^{-4}=\cos^{-4}(x). Assim a primitiva fica
\frac{u^{-4}}{4} + C = \frac{1}{4}\cos^{-4}(x) + C.
Podemos escrever de forma equivalente como
\frac{1}{4\cos^{4}(x)} + C.

Passo 5

Verificação rápida (bom hábito na prova): derivando a resposta devemos recuperar o integrando. Derivando \dfrac{1}{4}\cos^{-4}(x) usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\cos^{-4}(x)\right) = \frac{1}{4}\cdot(-4)\cos^{-5}(x)\cdot\big(-\operatorname{sen}(x)\big) = \cos^{-5}(x)\,\operatorname{sen}(x) = \frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos^{5}(x)},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 6

Observações finais e dica para a prova: sempre que vir uma potência de \cos(x) ou \operatorname{sen}(x) multiplicada pela derivada da outra função, pense em u=\cos(x) ou u=\operatorname{sen}(x). Aqui foi direto porque \operatorname{sen}(x)\,dx aparece explicitamente; isso torna a substituição curta e segura. Força aí — você consegue!

Resposta

\dfrac{1}{4\cos^{4}(x)}+C

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