Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando o método das frações parciais. Esse método é parte da matéria de cálculo integral e serve para simplificar integrais de funções racionais, ou seja, aquelas que são o quociente de dois polinômios. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a função em frações mais simples que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Percebemos que há um fator comum de :
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 4
Vamos expandir e simplificar a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos:
Passo 5
Vamos resolver o sistema:
Da terceira equação: -4B = 1RightarrowB = -14
Da segunda equação: -4A + B = 0Rightarrow-4A - 14 = 0RightarrowA = -116
Da primeira equação: A + C = 0RightarrowC = -A = 116
Passo 6
Agora que temos os valores de A, B e C, substituímos de volta na decomposição:
1x^2(x - 4) = -116x + -14x^2 + 116x - 4
Simplificando:
1x^2(x - 4) = -116x - 14x^2 + 116(x - 4)
Passo 7
Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x^3-4 x^2 , dx = -116 integral 1x , dx - 14 integral 1x^2 , dx + 116 integral 1x - 4 , dx