Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
integral 1x^3-4 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral 1x^3-4 x^2 , dx usando o método das frações parciais. Esse método é parte da matéria de cálculo integral e serve para simplificar integrais de funções racionais, ou seja, aquelas que são o quociente de dois polinômios. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a função em frações mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - 4x^2. Percebemos que há um fator comum de x^2:
x^3 - 4x^2 = x^2(x - 4)
Então, a integral fica:
integral 1x^2(x - 4) , dx

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 1x^2(x - 4) em frações parciais. Queremos encontrar constantes A, B e C tais que:
1x^2(x - 4) = Ax + Bx^2 + Cx - 4
Multiplicando ambos os lados por x^2(x - 4) para eliminar os denominadores:
1 = A x (x - 4) + B (x - 4) + C x^2

Passo 4

Vamos expandir e simplificar a equação:
1 = A x^2 - 4A x + B x - 4B + C x^2
Agrupando os termos semelhantes:
1 = (A + C) x^2 + (-4A + B) x - 4B
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos:
A + C = 0 -4A + B = 0 -4B = 1

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
  1. Da terceira equação: -4B = 1 Rightarrow B = -14
  2. Da segunda equação: -4A + B = 0 Rightarrow -4A - 14 = 0 Rightarrow A = -116
  3. Da primeira equação: A + C = 0 Rightarrow C = -A = 116

Passo 6

Agora que temos os valores de A, B e C, substituímos de volta na decomposição:
1x^2(x - 4) = -116x + -14x^2 + 116x - 4
Simplificando:
1x^2(x - 4) = -116x - 14x^2 + 116(x - 4)

Passo 7

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x^3-4 x^2 , dx = -116 integral 1x , dx - 14 integral 1x^2 , dx + 116 integral 1x - 4 , dx
Calculando as integrais:
-116 ln|x| + 14x + 116 ln|x - 4| + C

Resposta

A integral integral 1x^3-4 x^2 , dx é igual a:
-116 ln|x| + 14x + 116 ln|x - 4| + C
onde C é a constante de integração.

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