Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida
. Esse exercício envolve o método das frações parciais, que é usado para integrar funções racionais (quocientes de dois polinômios). Para isso, precisamos primeiro simplificar a fração e depois decompor em frações mais simples que sejam mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Observamos que o grau do polinômio no numerador (grau 3) é maior ou igual ao grau do denominador (grau 2), então precisamos realizar uma divisão polinomial antes de aplicar as frações parciais.
Passo 3
Dividimos
por
:
- Dividimos o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador:
. - Multiplicamos
pelo denominador para obter . - Subtraímos esse resultado do numerador original:
- Agora, temos
.
Passo 4
Simplificamos a fração resultante:
Passo 5
Agora, nossa integral fica:
Podemos separar essa integral em partes mais simples:
Passo 6
Resolvemos cada integral separadamente:
-
-
Para
, podemos reescrever a fração:
Então, a integral fica:
-
: aqui, fazemos uma substituição , então ou . A integral fica:
Passo 7
Agora, somamos todas as partes:
Simplificando os termos:
Resposta
A integral resolvida é:
onde
é a constante de integração.