Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
integral x^3+2 x^2+42 x^2+2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral x^3 + 2x^2 + 42x^2 + 2 , dx. Esse exercício envolve o método das frações parciais, que é usado para integrar funções racionais (quocientes de dois polinômios). Para isso, precisamos primeiro simplificar a fração e depois decompor em frações mais simples que sejam mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração x^3 + 2x^2 + 42x^2 + 2. Observamos que o grau do polinômio no numerador (grau 3) é maior ou igual ao grau do denominador (grau 2), então precisamos realizar uma divisão polinomial antes de aplicar as frações parciais.

Passo 3

Dividimos x^3 + 2x^2 + 4 por 2x^2 + 2:
  1. Dividimos o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador: x^32x^2 = 12x.
  2. Multiplicamos 12x pelo denominador 2x^2 + 2 para obter x^3 + x.
  3. Subtraímos esse resultado do numerador original:
(x^3 + 2x^2 + 4) - (x^3 + x) = 2x^2 - x + 4
  1. Agora, temos 2x^2 - x + 42x^2 + 2.

Passo 4

Simplificamos a fração resultante:
2x^2 - x + 42x^2 + 2 = 2x^2 - x + 42(x^2 + 1) = 2x^2 - x + 42(x^2 + 1) = 2x^22(x^2 + 1) - x2(x^2 + 1) + 42(x^2 + 1) = x^2x^2 + 1 - x2(x^2 + 1) + 2x^2 + 1

Passo 5

Agora, nossa integral fica:
integral ( 12x + x^2x^2 + 1 - x2(x^2 + 1) + 2x^2 + 1 ) dx
Podemos separar essa integral em partes mais simples:
12 integral x , dx + integral x^2x^2 + 1 , dx - 12 integral xx^2 + 1 , dx + 2 integral 1x^2 + 1 , dx

Passo 6

Resolvemos cada integral separadamente:
  1. 12 integral x , dx = 12 cdot x^22 = x^24
  2. Para integral x^2x^2 + 1 , dx, podemos reescrever a fração:
x^2x^2 + 1 = 1 - 1x^2 + 1
Então, a integral fica:
integral (1 - 1x^2 + 1) dx = integral 1 , dx - integral 1x^2 + 1 , dx = x - tan^-1(x)
  1. -12 integral xx^2 + 1 , dx: aqui, fazemos uma substituição u = x^2 + 1, então du = 2x , dx ou du2 = x , dx. A integral fica:
-12 cdot 12 integral 1u , du = -14 ln|u| + C = -14 ln(x^2 + 1) + C
  1. 2 integral 1x^2 + 1 , dx = 2 tan^-1(x)

Passo 7

Agora, somamos todas as partes:
x^24 + x - tan^-1(x) - 14 ln(x^2 + 1) + 2 tan^-1(x) + C
Simplificando os termos:
x^24 + x + tan^-1(x) - 14 ln(x^2 + 1) + C

Resposta

A integral resolvida é:
x^24 + x + tan^-1(x) - 14 ln(x^2 + 1) + C
onde C é a constante de integração.

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