Resolva as integrais indefinidas usando o método da substituição trigonométrica.
integral d traiz9-16 t^2

Passo 1

Beleza, temos que resolver a integral indefinida integral dtraiz9 - 16 t^2. Esse tipo de integral envolve uma raiz quadrada com um polinômio do segundo grau, e vamos usar o método da substituição trigonométrica para resolver. Para isso, precisamos lembrar das identidades trigonométricas e como aplicá-las em integrais que envolvem radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a expressão dentro da raiz: 9 - 16 t^2. Queremos escolher uma substituição trigonométrica que simplifique essa expressão. Notamos que isso se parece com a identidade a^2 - b^2 sin^2theta = a^2 cos^2theta. Assim, vamos fazer a substituição:
t = 34 sintheta

Passo 3

Agora, vamos derivar t em relação a theta para encontrarmos dt:
dt = 34 costheta , dtheta

Passo 4

Substituímos e na integral original:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz9 - 16 (916 sin^2theta) = raiz9 - 9 sin^2theta = raiz9(1 - sin^2theta) = 3 costheta

Passo 6

Substituímos de volta na integral:
integral 34 costheta , dtheta3 costheta = integral 14 dtheta = 14 integral dtheta

Passo 7

Integrando em relação a theta:
14 theta + C

Passo 8

Agora, voltamos para a variável original t. Sabemos que t = 34 sintheta, então:
sintheta = 4t3 implies theta = arcsin(4t3)

Resposta

14 arcsin(4t3) + C

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