Resolva as integrais indefinidas usando o método da substituição trigonométrica.
Passo 1
Beleza, temos que resolver a integral indefinida
. Esse tipo de integral envolve uma raiz quadrada com um polinômio do segundo grau, e vamos usar o método da substituição trigonométrica para resolver. Para isso, precisamos lembrar das identidades trigonométricas e como aplicá-las em integrais que envolvem radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a expressão dentro da raiz:
. Queremos escolher uma substituição trigonométrica que simplifique essa expressão. Notamos que isso se parece com a identidade
. Assim, vamos fazer a substituição:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrarmos
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Passo 6
Substituímos de volta na integral:
Passo 7
Integrando em relação a
:
Passo 8
Agora, voltamos para a variável original
. Sabemos que
, então: