Resolva as integrais indefinidas usando o método da substituição trigonométrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida usando o método da substituição trigonométrica. O problema é calcular:
Para isso, vamos precisar entender como a substituição trigonométrica pode simplificar integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de raízes.
Passo 2
Primeiro, observamos que temos uma expressão do tipo
, onde
. Quando encontramos algo assim, uma boa substituição trigonométrica é:
Então, vamos usar
. A ideia aqui é transformar a integral em termos de
, o que geralmente simplifica a expressão.
Passo 3
Com a substituição
, precisamos encontrar
:
Também vamos substituir
:
Passo 4
Agora, vamos substituir todas essas expressões na integral original:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Agora precisamos integrar
. Vamos simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
Então, podemos reescrever
como
:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral:
Vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos fazer uma substituição adicional para facilitar a integração. Seja
, então:
Observamos que temos
na integral, que é exatamente
. Assim, a integral se torna:
Passo 8
Agora, é uma integração simples:
Substituindo
:
Passo 9
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos
, podemos construir um triângulo retângulo onde:
- O cateto oposto a
é - O cateto adjacente é
- A hipotenusa é
Com isso, temos:
Passo 10
Substituindo
na expressão:
Simplificando os termos:
Resposta
Portanto, a integral resolvida é:
Onde
C é a constante de integração.