Resolva as integrais indefinidas usando o método da substituição trigonométrica.
integral t^5raizt^2+16 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida usando o método da substituição trigonométrica. O problema é calcular:
integral t^5raizt^2+16 , dt
Para isso, vamos precisar entender como a substituição trigonométrica pode simplificar integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de raízes.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos uma expressão do tipo raizt^2 + a^2, onde a = 4. Quando encontramos algo assim, uma boa substituição trigonométrica é:
t = a tan theta
Então, vamos usar t = 4 tan theta. A ideia aqui é transformar a integral em termos de theta, o que geralmente simplifica a expressão.

Passo 3

Com a substituição t = 4 tan theta, precisamos encontrar dt:
dt = 4 sec^2 theta , dtheta
Também vamos substituir raizt^2 + 16:
raizt^2 + 16 = raiz16 tan^2 theta + 16 = raiz16(tan^2 theta + 1) = 4 sec theta

Passo 4

Agora, vamos substituir todas essas expressões na integral original:
integral t^5raizt^2+16 , dt = integral (4 tan theta)^54 sec theta cdot 4 sec^2 theta , dtheta
Simplificando os coeficientes:
= integral 1024 tan^5 theta4 sec theta cdot 4 sec^2 theta , dtheta = 1024 integral tan^5 theta cdot sec theta , dtheta

Passo 5

Agora precisamos integrar tan^5 theta cdot sec theta . Vamos simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
tan^2 theta = sec^2 theta - 1
Então, podemos reescrever tan^5 theta como tan^4 theta cdot tan theta:
tan^5 theta = (tan^2 theta)^2 cdot tan theta = (sec^2 theta - 1)^2 cdot tan theta

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral:
1024 integral (sec^2 theta - 1)^2 cdot tan theta cdot sec theta , dtheta
Vamos expandir (sec^2 theta - 1)^2:
(sec^2 theta - 1)^2 = sec^4 theta - 2 sec^2 theta + 1
Então, a integral fica:
1024 integral (sec^4 theta - 2 sec^2 theta + 1) cdot tan theta cdot sec theta , dtheta

Passo 7

Vamos fazer uma substituição adicional para facilitar a integração. Seja u = sec theta, então:
du = sec theta tan theta , dtheta
Observamos que temos tan theta cdot sec theta , dtheta na integral, que é exatamente du. Assim, a integral se torna:
1024 integral (u^4 - 2u^2 + 1) , du

Passo 8

Agora, é uma integração simples:
1024 ( u^55 - 2u^33 + u ) + C
Substituindo u = sec theta:
1024 ( sec^5 theta5 - 2 sec^3 theta3 + sec theta ) + C

Passo 9

Agora, precisamos voltar para a variável original t. Lembrando que fizemos t = 4 tan theta, podemos construir um triângulo retângulo onde:
  • O cateto oposto a theta é t = 4 tan theta
  • O cateto adjacente é 4
  • A hipotenusa é raizt^2 + 16
Com isso, temos:
sec theta = raizt^2 + 164

Passo 10

Substituindo sec theta na expressão:
1024 ( (raizt^2 + 164)^55 - 2 (raizt^2 + 164)^33 + raizt^2 + 164 ) + C
Simplificando os termos:
10245 cdot 4^5 (t^2 + 16)^5/2 - 2 cdot 10243 cdot 4^3 (t^2 + 16)^3/2 + 10244 (t^2 + 16)^1/2 + C

Resposta

Portanto, a integral resolvida é:
integral t^5raizt^2+16 , dt = 325 (t^2 + 16)^5/2 - 2563 (t^2 + 16)^3/2 + 256 (t^2 + 16)^1/2 + C
Onde C é a constante de integração.

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