Resolva as integrais indefinidas usando o método da substituição trigonométrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida usando substituição trigonométrica. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de uma raiz, então vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Olhando para
, isso se parece com a identidade
. Então, vamos definir:
Assim,
e o diferencial
será:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando, os
se cancelam:
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes:
Sabemos que:
e
Então, juntando as duas, temos:
Passo 5
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, podemos desenhar um triângulo retângulo onde a hipotenusa é
, o cateto adjacente é 1, e o cateto oposto é
. Assim:
e
Substituindo de volta:
Resposta
Portanto, a integral resolvida é: