Resolva as integrais indefinidas usando o método da substituição trigonométrica.
integral x+1raizx^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida usando substituição trigonométrica. O enunciado é:
integral x + 1raizx^2 - 1 , dx
Aqui, estamos trabalhando com integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de uma raiz, então vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Olhando para raizx^2 - 1, isso se parece com a identidade sec^2 theta - 1 = tan^2 theta. Então, vamos definir:
x = sec theta
Assim, raizx^2 - 1 = tan theta e o diferencial dx será:
dx = sec theta tan theta , dtheta

Passo 3

Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral sec theta + 1tan theta cdot sec theta tan theta , dtheta
Simplificando, os tan theta se cancelam:
integral (sec theta + 1) cdot sec theta , dtheta = integral (sec^2 theta + sec theta) , dtheta

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
integral sec^2 theta , dtheta + integral sec theta , dtheta
Sabemos que:
integral sec^2 theta , dtheta = tan theta + C
e
integral sec theta , dtheta = ln |sec theta + tan theta| + C
Então, juntando as duas, temos:
tan theta + ln |sec theta + tan theta| + C

Passo 5

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que x = sec theta, podemos desenhar um triângulo retângulo onde a hipotenusa é x, o cateto adjacente é 1, e o cateto oposto é raizx^2 - 1. Assim:
tan theta = raizx^2 - 1
e
sec theta = x
Substituindo de volta:
tan theta = raizx^2 - 1
ln |sec theta + tan theta| = ln |x + raizx^2 - 1|

Resposta

Portanto, a integral resolvida é:
integral x + 1raizx^2 - 1 , dx = raizx^2 - 1 + ln |x + raizx^2 - 1| + C

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