Resolva as integrais indefinidas usando o método da substituição trigonométrica.
integral x^3 raizx^2+3 d x

Passo 1

Temos a integral indefinida integral x^3raizx^2+3,dx. O conteúdo é substituição trigonométrica para tratar raízes do tipo raizx^2+a^2 com a=raiz3. Vamos usar a substituição x=raiz3tantheta, o que transforma a raiz em uma função de sectheta.

Passo 2

Fazendo a substituição x=raiz3tantheta montamos um triângulo retângulo onde o cateto oposto a theta vale x e o cateto adjacente vale raiz3. Assim: raizx^2+3=raiz3tan^2theta+3=raiz3sectheta Além disso, derivando x em relação a theta: dx=raiz3sec^2theta,dtheta

Passo 3

Substituindo tudo na integral, obtemos
integral x^3raizx^2+3,dx = integral (raiz3tantheta)^3,(raiz3sectheta),(raiz3sec^2theta,dtheta)

Passo 4

Agrupando fatores de raiz3 e potências de tantheta e sectheta:
x^3raizx^2+3,dx = 9raiz3integral tan^3theta,sec^3theta,dtheta

Passo 5

Para integrar tan^3thetasec^3theta, escrevemos tan^2theta=sec^2theta-1:
tan^3thetasec^3theta=tantheta(sec^2theta-1)sec^3theta=tantheta(sec^5theta-sec^3theta)

Passo 6

Agora usamos a substituição u=sectheta, então du=secthetatantheta,dtheta. A integral vira:
9raiz3integral tantheta(sec^5theta-sec^3theta),dtheta =9raiz3integral (u^4-u^2),du,

Passo 7

Integramos em u:
9raiz3l(u^55-u^33r)+C =9raiz3l(sec^5theta5-sec^3theta3r)+C

Passo 8

Voltando para x, lembrando que sectheta=raizx^2+3raiz3:
9raiz3l(15(x^2+3)^5/2(raiz3)^5-13(x^2+3)^3/2(raiz3)^3r)+C,

Passo 9

Simplificando os fatores de raiz3 chegamos em
(x^2+3)^5/25 - (x^2+3)^3/2 + C

Resposta

(x^2+3)^5/25 - (x^2+3)^3/2 + C

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