Achar o conjunto solução das seguintes desigualdades:
x-12 x-5 <= 1+x / 2x+3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade de funções racionais
x-12x-5 <= 1 + tfracx2x+3
Isso envolve: ( 1) colocar tudo no mesmo lado, ( 2) obter um único quociente, ( 3) fatorar numerador e denominador, ( 4) fazer o estudo de sinal e ( 5) montar o conjunto-solução.

Passo 2

Passo 1 de álgebra: escrevemos o lado direito com denominador simples e transferimos para o lado esquerdo
1 + tfracx2x+3 = tfrac2+x2x+3 = x+22(x+3),
e a desigualdade fica
x-12x-5 - x+22(x+3) <= 0

Passo 3

Unimos em um único quociente, tomando como denominador comum 2(2x-5)(x+3). O numerador resulta em
N(x) = 2(x-1)(x+3) - (x+2)(2x-5)
Efetuando as contas:
2(x^2 +2x -3) - (2x^2 - x -10) = (2x^2 +4x -6) - (2x^2 -x -10) = 5x +4
Logo a desigualdade é
5x +42,(2x-5),(x+3) <= 0

Passo 4

Determinamos os pontos críticos de mudança de sinal:
  • Numerador 5x+4=0 em x=-tfrac45.
  • Denominador nulo (pontos proibidos) em 2x-5=0implies x=tfrac52 e em x+3=0implies x=-3.
Fazemos o quadro de sinais em cada intervalo:
Intervalo Sinal de 5x+4 Sinal de 2x-5 Sinal de x+3 Quociente
-infty,,-3 – – – –/–/– =
-3,,-tfrac45 – – + –/–/ +=+ -tfrac45,,tfrac52 + ++/–/ +=
tfrac52,,infty ++++/ + / +=+
Queremos sinal <=0, ou seja, intervalos onde dá negativo ou zero. Zero ocorre em x=-tfrac45. Pontos onde o denominador anula não entram na solução.

Passo 5

Dos quatro trechos, ficam válidos:
(-infty,,-3)el[-tfrac45,,tfrac52r)

Resposta

(-infty,,-3)cupl[-tfrac45,,tfrac52r)

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