Resolva o problema onde f(x)=l1,00, 0, pi / 2 <= x <= pi
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da difusão ut = 3uxx em 0, t>0, com condição de contorno mista u(0,t)=0 (Dirichlet) e ux(pi,t)=0 (Neumann) e condição inicial u(x,0)=f(x), onde
f(x)=1,&0
Para resolver vamos usar separação de variáveis e expansão em série de autovalores do problema de Sturm–Liouville.
Passo 2
Começamos supondo solução na forma u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo em ut=3uxx e dividindo por XT obtemos
T'(t)3T(t)=X''(x)X(x)=-lambda
com lambda constante de separação. O problema espacial é
X''+lambda X=0, X(0)=0,;X'(pi)=0
Passo 3
A solução geral de X''+lambda X=0 é X=Acos(raizlambda x)+Bsin(raizlambda x). A condição X(0)=0 força A=0, logo