Resolva o problema
lut=3 ux x, 00, u(0, t)=0, ux(pi, t)=0, t>0, u(x, 0)=f(x), 0 <= x <= pi, onde f(x)=l1,00, 0, pi / 2 <= x <= pi

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da difusão ut = 3uxx em 0, t>0, com condição de contorno mista u(0,t)=0 (Dirichlet) e ux(pi,t)=0 (Neumann) e condição inicial u(x,0)=f(x), onde
f(x)=1,&0
Para resolver vamos usar separação de variáveis e expansão em série de autovalores do problema de Sturm–Liouville.

Passo 2

Começamos supondo solução na forma u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo em ut=3uxx e dividindo por XT obtemos
T'(t)3T(t)=X''(x)X(x)=-lambda
com lambda constante de separação. O problema espacial é
X''+lambda X=0, X(0)=0,;X'(pi)=0

Passo 3

A solução geral de X''+lambda X=0 é X=Acos(raizlambda x)+Bsin(raizlambda x). A condição X(0)=0 força A=0, logo
X(x)=Bsin(kx), k=raizlambda
A condição X'(pi)=0
X'(pi)=Bkcos(kpi)=0implies cos(kpi)=0implies kpi=(2n-1)pi2,;n=1,2,3,dots
Portanto
kn=2n-12, lambdan=kn^2=l(2n-12r)^2,
e os autovalores e autovetores são conhecidos.

Passo 4

Para cada n a parte em tempo é
Tn(t)=e^-3lambdan t=e^-3kn^2 t
Assim a solução geral se escreve como série
u(x,t)=sumn=1^inftybnsin(kn x),e^-3kn^2 t, kn=2n-12

Passo 5

Determinar os coeficientes bn usando a condição inicial u(x,0)=f(x):
f(x)=sumn=1^infty bnsin(kn x)
Pela ortogonalidade em [0,pi], onde
integral0^pisin(km x)sin(kn x),dx=0;(mne n), =pi2;(m=n),
temos
bn=2piintegral0^pi f(x)sin(kn x),dx
Como f(x)=1 em [0,pi/2] e zero depois, isso vira
bn=2piintegral0^pi/2sin(kn x),dx

Passo 6

Calcular explicitamente:
integral0^pi/2sin(kn x),dx=l[-tfrac1kncos(kn x)r]0^pi/2=1knl(1-cos(kn,pi/2)r)
Logo
bn=2pi knl(1-cos(kn,pi/2)r), kn=2n-12

Passo 7

Portanto a solução final fica
u(x,t)=sumn=1^infty2pi knl(1-cos(kn,pi/2)r)sin(kn x),e^-3kn^2 t, kn=2n-12

Resposta

u(x,t)=\displaystyle\sum_{n=1}{\infty}\frac{2}{\pi,(\tfrac{2n-1}{2})}\Bigl[1-\cos\Bigl(\tfrac{2n-1}{2},\tfrac{\pi}{2}\Bigr)\Bigr]\sin\Bigl(\tfrac{2n-1}{2}x\Bigr),e{-3,(\tfrac{2n-1}{2})^2t}

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