Determinar o domínio, a imagem e o contradomínio das funções:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. O que precisamos fazer aqui é determinar o domínio, a imagem e o contradomínio de várias funções matemáticas. Isso faz parte do conteúdo de Funções, um tópico fundamental em matemática. Para resolver, vamos analisar cada função individualmente, verificando quais valores de
tornam a função válida (domínio), quais valores a função realmente produz (imagem) e qual é o conjunto de possíveis valores de saída definidos para a função (contradomínio).
Passo 2
a)
Vamos começar com a primeira função:
.
Passo 3
Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Nesse caso,
está definido para todos os números reais, e somar 3 não impõe restrições. Então, o domínio é:
Contradomínio: O contradomínio é o conjunto de todos os possíveis valores de saída que a função poderia ter. Como
é sempre positivo ou zero,
será sempre maior ou igual a 3. Assim, o contradomínio é:
Imagem: A imagem é o conjunto real dos valores que a função realmente assume. Como
pode ser qualquer número não negativo,
pode ser qualquer número a partir de 3 em diante. Portanto, a imagem é igual ao contradomínio:
Passo 4
b)
Vamos para a próxima função:
.
Passo 5
Domínio: Aqui, temos uma fração onde o denominador é
. Precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois divisão por zero não é permitida. Então,
, o que implica
. Portanto, o domínio é:
Contradomínio: O contradomínio depende dos valores possíveis que
pode assumir. Como
é sempre positivo, a fração estará definida para todos os
, e o valor de
pode ser qualquer número real, já que o numerador pode assumir valores positivos e negativos. Logo, o contradomínio é:
Imagem: A imagem é o conjunto de valores que
realmente assume. Vamos analisar o limite:
- Se
tende a ou , tende a zero. - Se
se aproxima de zero por valores positivos, tende a . - Se
se aproxima de zero por valores negativos, tende a .
Portanto, a função pode assumir qualquer valor real, exceto possivelmente zero. Contudo, ao resolver
:
Então,
, o que confirma que zero também está na imagem. Portanto, a imagem é igual ao contradomínio:
Passo 6
c)
Vamos agora para
.
Passo 7
Domínio: O domínio de uma função com raiz quadrada requer que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero. Então:
Como
é sempre não negativo,
é sempre maior ou igual a 1. Portanto, não há restrições para
. Logo, o domínio é:
Contradomínio: O valor mínimo de
ocorre quando
:
E à medida que
aumenta,
também aumenta sem limites. Então, o contradomínio é:
Imagem: A imagem é o conjunto de valores que
realmente assume. Como
, e a raiz quadrada mantém a ordem, temos:
Passo 8
d)
Seguimos para
.
Passo 9
Domínio: Para a raiz quadrada estar definida, precisamos que o interior seja não negativo:
Então, o domínio é:
Contradomínio: O valor mínimo ocorre quando
:
E à medida que
diminui,
aumenta, fazendo
crescer. Assim, o contradomínio é:
Imagem: A imagem é o conjunto real dos valores que
assume. Como
,
pode ser qualquer número não negativo, então:
Passo 10
e)
Vamos para
.
Passo 11
Domínio: Novamente, temos uma fração, e o denominador não pode ser zero:
Portanto, o domínio é:
Contradomínio: O contradomínio é o conjunto de todos os possíveis valores de saída. Como o numerador e o denominador podem assumir valores positivos e negativos, e a função pode tender a infinito positivo ou negativo, o contradomínio é:
Imagem: Para determinar a imagem, vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver em
:
Para que haja solução real, o discriminante deve ser não negativo. Como
é sempre positivo, para qualquer
, existe um
correspondente. Além disso, para
, resolvendo
dá
.
Portanto, a imagem é todo o conjunto dos números reais:
Passo 12
f)
Finalmente, vamos para
.
Passo 13
Domínio: Aqui, temos duas condições:
- A raiz quadrada no numerador exige que:
- O denominador não pode ser zero:
Então, combinando as duas condições:
Como
já exclui
, que está fora desse intervalo, a única exclusão adicional é
.
Contradomínio: O contradomínio depende dos valores que
pode assumir. O numerador
é sempre não negativo, e o denominador
pode ser positivo ou negativo dependendo do valor de
. Portanto,
pode assumir valores positivos e negativos, além de tender a zero.
Assim, o contradomínio é:
Imagem: Para determinar a imagem, analisamos os possíveis valores de
:
- Quando
se aproxima de 1, tende a 0, e o denominador tende a , então tende a 0. - Quando
se aproxima de pela direita, tende a e tende a 0 pelo lado positivo, fazendo tender a . - Quando
se aproxima de pela esquerda, ainda tende a , mas tende a 0 pelo lado negativo, fazendo tender a .
Como
pode assumir todos os valores reais ao variar
no domínio, a imagem é:
Passo 14
E pronto! Resolvi todas as partes do exercício, detalhando o domínio, a imagem e o contradomínio de cada função. Espero que tenha ficado claro! Se tiver mais dúvidas, é só perguntar.
Resposta
Para a função
:
- Domínio:
- Contradomínio:
- Imagem: