Determinar o domínio, a imagem e o contradomínio das funções:
a) f(x)=x^2+3
b) f(x)=3 x+1x^2
c) f(x)=raizx^2+1
d) f(x)=raiz5-x
e) f(x)=xx^2-1
f) f(x)=raiz1-xx^2-4

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. O que precisamos fazer aqui é determinar o domínio, a imagem e o contradomínio de várias funções matemáticas. Isso faz parte do conteúdo de Funções, um tópico fundamental em matemática. Para resolver, vamos analisar cada função individualmente, verificando quais valores de x tornam a função válida (domínio), quais valores a função realmente produz (imagem) e qual é o conjunto de possíveis valores de saída definidos para a função (contradomínio).

Passo 2

a) f(x) = x^2 + 3

Vamos começar com a primeira função: f(x) = x^2 + 3 .

Passo 3

Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Nesse caso, x^2 está definido para todos os números reais, e somar 3 não impõe restrições. Então, o domínio é:
Df = R
Contradomínio: O contradomínio é o conjunto de todos os possíveis valores de saída que a função poderia ter. Como x^2 é sempre positivo ou zero, x^2 + 3 será sempre maior ou igual a 3. Assim, o contradomínio é:
Cf = [3, +infty)
Imagem: A imagem é o conjunto real dos valores que a função realmente assume. Como x^2 pode ser qualquer número não negativo, x^2 + 3 pode ser qualquer número a partir de 3 em diante. Portanto, a imagem é igual ao contradomínio:
Im(f) = [3, +infty)

Passo 4

b) f(x) = 3x + 1x^2

Vamos para a próxima função: f(x) = 3x + 1x^2 .

Passo 5

Domínio: Aqui, temos uma fração onde o denominador é x^2 . Precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, x^2 neq 0 , o que implica x neq 0 . Portanto, o domínio é:
Df = R setminus 0
Contradomínio: O contradomínio depende dos valores possíveis que f(x) pode assumir. Como x^2 é sempre positivo, a fração estará definida para todos os x neq 0 , e o valor de f(x) pode ser qualquer número real, já que o numerador pode assumir valores positivos e negativos. Logo, o contradomínio é:
Cf = R
Imagem: A imagem é o conjunto de valores que f(x) realmente assume. Vamos analisar o limite:
  • Se x tende a +infty ou -infty , f(x) tende a zero.
  • Se x se aproxima de zero por valores positivos, f(x) tende a +infty .
  • Se x se aproxima de zero por valores negativos, f(x) tende a -infty .
Portanto, a função pode assumir qualquer valor real, exceto possivelmente zero. Contudo, ao resolver f(x) = 0 :
3x + 1x^2 = 0 Rightarrow 3x + 1 = 0 Rightarrow x = -13
Então, f(-13) = 0 , o que confirma que zero também está na imagem. Portanto, a imagem é igual ao contradomínio:
Im(f) = R

Passo 6

c) f(x) = raizx^2 + 1

Vamos agora para f(x) = raizx^2 + 1 .

Passo 7

Domínio: O domínio de uma função com raiz quadrada requer que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero. Então:
x^2 + 1 >= 0
Como x^2 é sempre não negativo, x^2 + 1 é sempre maior ou igual a 1. Portanto, não há restrições para x . Logo, o domínio é:
Df = R
Contradomínio: O valor mínimo de raizx^2 + 1 ocorre quando x = 0 :
f(0) = raiz0 + 1 = 1
E à medida que |x| aumenta, f(x) também aumenta sem limites. Então, o contradomínio é:
Cf = [1, +infty)
Imagem: A imagem é o conjunto de valores que f(x) realmente assume. Como x^2 + 1 >= 1 , e a raiz quadrada mantém a ordem, temos:
Im(f) = [1, +infty)

Passo 8

d) f(x) = raiz5 - x

Seguimos para f(x) = raiz5 - x .

Passo 9

Domínio: Para a raiz quadrada estar definida, precisamos que o interior seja não negativo:
5 - x >= 0 Rightarrow x <= 5
Então, o domínio é:
Df = (-infty, 5]
Contradomínio: O valor mínimo ocorre quando x = 5 :
f(5) = raiz5 - 5 = 0
E à medida que x diminui, 5 - x aumenta, fazendo f(x) crescer. Assim, o contradomínio é:
Cf = [0, +infty)
Imagem: A imagem é o conjunto real dos valores que f(x) assume. Como x <= 5 , 5 - x pode ser qualquer número não negativo, então:
Im(f) = [0, +infty)

Passo 10

e) f(x) = xx^2 - 1

Vamos para f(x) = xx^2 - 1 .

Passo 11

Domínio: Novamente, temos uma fração, e o denominador não pode ser zero:
x^2 - 1 neq 0 Rightarrow x neq pm 1
Portanto, o domínio é:
Df = R setminus -1, 1
Contradomínio: O contradomínio é o conjunto de todos os possíveis valores de saída. Como o numerador e o denominador podem assumir valores positivos e negativos, e a função pode tender a infinito positivo ou negativo, o contradomínio é:
Cf = R
Imagem: Para determinar a imagem, vamos resolver para y :
y = xx^2 - 1
Multiplicando ambos os lados por x^2 - 1 :
y(x^2 - 1) = x Rightarrow yx^2 - y - x = 0
Rearranjando:
yx^2 - x - y = 0
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver em x :
x = 1 pm raiz1 + 4y^22y
Para que haja solução real, o discriminante deve ser não negativo. Como 1 + 4y^2 é sempre positivo, para qualquer y neq 0 , existe um x correspondente. Além disso, para y = 0 , resolvendo xx^2 - 1 = 0 x = 0 .
Portanto, a imagem é todo o conjunto dos números reais:
Im(f) = R

Passo 12

f) f(x) = raiz1 - xx^2 - 4

Finalmente, vamos para f(x) = raiz1 - xx^2 - 4 .

Passo 13

Domínio: Aqui, temos duas condições:
  1. A raiz quadrada no numerador exige que:
1 - x >= 0 Rightarrow x <= 1
  1. O denominador não pode ser zero:
x^2 - 4 neq 0 Rightarrow x neq pm 2
Então, combinando as duas condições:
Df = x in R | x <= 1 e x neq -2
Como x <= 1 já exclui x = 2 , que está fora desse intervalo, a única exclusão adicional é x = -2 .
Contradomínio: O contradomínio depende dos valores que f(x) pode assumir. O numerador raiz1 - x é sempre não negativo, e o denominador x^2 - 4 pode ser positivo ou negativo dependendo do valor de x . Portanto, f(x) pode assumir valores positivos e negativos, além de tender a zero.
Assim, o contradomínio é:
Cf = R
Imagem: Para determinar a imagem, analisamos os possíveis valores de f(x) :
  • Quando x se aproxima de 1, raiz1 - x tende a 0, e o denominador x^2 - 4 tende a -3 , então f(x) tende a 0.
  • Quando x se aproxima de -2 pela direita, raiz1 - x tende a raiz3 e x^2 - 4 tende a 0 pelo lado positivo, fazendo f(x) tender a +infty .
  • Quando x se aproxima de -2 pela esquerda, raiz1 - x ainda tende a raiz3 , mas x^2 - 4 tende a 0 pelo lado negativo, fazendo f(x) tender a -infty .
Como f(x) pode assumir todos os valores reais ao variar x no domínio, a imagem é:
Im(f) = R

Passo 14

E pronto! Resolvi todas as partes do exercício, detalhando o domínio, a imagem e o contradomínio de cada função. Espero que tenha ficado claro! Se tiver mais dúvidas, é só perguntar.

Resposta

Para a função f(x) = raiz1 - xx^2 - 4 :
  • Domínio: Df = x in R | x <= 1 e x neq -2
  • Contradomínio: Cf = R
  • Imagem: Im(f) = R

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