EXTRA: (valor: 1,0) Determine a área da região do plano delimitada (Interseção) pelas curvas de equações polares r=1-\cos \theta e r=\cos \theta.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares:
r = 1 - \cos\theta,
r = \cos\theta.
O que é pedido: determinar a área da região do plano que é a interseção (a parte comum) das duas regiões limites por essas curvas — ou seja, a área dos pontos que estão simultaneamente dentro de ambas as curvas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
As equações polares das duas curvas estão acima.
Para encontrar a região comum precisamos saber onde as curvas se cruzam e, para cada ângulo \theta, qual das duas dá o menor valor de r (pois pontos comuns terão 0\le r \le \min\{1-\cos\theta,\\ \cos\theta\}, quando esse mínimo for positivo).
Passo 2
Primeiro passo técnico: achar as interseções das curvas. Igualando as duas expressões:
ou, de modo simétrico, \theta=\pm\tfrac{\pi}{3} modulo 2\pi. Nesse ponto de interseção o raio vale
r=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2},
o mesmo para a outra curva (checa-se 1-\cos(\pi/3)=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}).
Passo 3
Explico a fórmula que vou usar (a “aula curta”): para curvas polares, a área de uma região que, para cada \theta em [a,b], está entre r=0 e r=f(\theta) é
Motivação rápida: um sector de ângulo d\theta e raio r tem área aproximada \tfrac{1}{2}r^{2}d\theta; somando (integrando) obtém-se a fórmula acima. Aqui f(\theta) será o menor dos dois raios, pois a região comum tem, para cada direção \theta, 0\le r\le \min\{1-\cos\theta,\cos\theta\}.
Agora preciso entender, para cada \theta, qual curva dá o menor r. Calculo a diferença:
(1-\cos\theta)-\cos\theta = 1-2\cos\theta.
Logo:
Se \cos\theta>\tfrac{1}{2} (ou seja |\theta|<\tfrac{\pi}{3} módulo 2\pi), então 1-2\cos\theta<0 e portanto 1-\cos\theta<\cos\theta: o cardioide r=1-\cos\theta está “por dentro” do círculo r=\cos\theta.
Se \cos\theta<\tfrac{1}{2} (por exemplo \tfrac{\pi}{3}<|\theta|<\tfrac{\pi}{2}), então \cos\theta<1-\cos\theta e o círculo está por dentro.
Também é importante notar que r=\cos\theta é positivo apenas quando \cos\theta>0, isto é para \theta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) (caso contrário o mesmo ponto da curva é obtido com r\ge0 e outro ângulo, mas para integrar a região interna interessa onde r é não-negativo na direção \theta). Assim a região comum aparece apenas para \theta entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}. Portanto a fronteira da região comum, ao seguirmos \theta de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}, é dada por:
de \theta=-\tfrac{\pi}{2} até \theta=-\tfrac{\pi}{3}: pelo círculo r=\cos\theta,
de \theta=-\tfrac{\pi}{3} até \theta=\tfrac{\pi}{3}: pelo cardioide r=1-\cos\theta,
de \theta=\tfrac{\pi}{3} até \theta=\tfrac{\pi}{2}: pelo círculo r=\cos\theta.
Passo 4
Por simetria em relação ao eixo x (ambas as curvas são simétricas em x), posso integrar só de 0 a \tfrac{\pi}{2} e dobrar a área. Assim a área buscada é
A = 2\cdot \tfrac{1}{2}\left(\int_{0}^{\pi/3} (1-\cos\theta)^{2}\,d\theta + \int_{\pi/3}^{\pi/2} (\cos\theta)^{2}\,d\theta\right).
Simplificando o fator 2\cdot\tfrac12, fica
A = \int_{0}^{\pi/3} (1-\cos\theta)^{2}\,d\theta \;+\; \int_{\pi/3}^{\pi/2} \cos^{2}\theta\,d\theta.
Passo 5
Calculo da primeira integral passo a passo. Expando o quadrado:
Avalio nos limites: para \theta=\tfrac{\pi}{2} obtém-se \tfrac{\pi}{4}+0. Para \theta=\tfrac{\pi}{3} obtém-se \tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\sqrt{3}}{8}. Subtraindo: