EXTRA: (valor: 1,0) Determine a área da região do plano delimitada (Interseção) pelas curvas de equações polares r=1-\cos \theta e r=\cos \theta.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares:
  • r = 1 - \cos\theta,
  • r = \cos\theta.
O que é pedido: determinar a área da região do plano que é a interseção (a parte comum) das duas regiões limites por essas curvas — ou seja, a área dos pontos que estão simultaneamente dentro de ambas as curvas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As equações polares das duas curvas estão acima.
  • Para encontrar a região comum precisamos saber onde as curvas se cruzam e, para cada ângulo \theta, qual das duas dá o menor valor de r (pois pontos comuns terão 0\le r \le \min\{1-\cos\theta,\\ \cos\theta\}, quando esse mínimo for positivo).

Passo 2

Primeiro passo técnico: achar as interseções das curvas. Igualando as duas expressões:
1-\cos\theta=\cos\theta \quad\Rightarrow\quad 1=2\cos\theta \quad\Rightarrow\quad \cos\theta=\tfrac{1}{2}.
As soluções principais no intervalo [0,2\pi) são
\theta=\tfrac{\pi}{3}\quad\text{e}\quad \theta=\tfrac{5\pi}{3},
ou, de modo simétrico, \theta=\pm\tfrac{\pi}{3} modulo 2\pi. Nesse ponto de interseção o raio vale
r=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2},
o mesmo para a outra curva (checa-se 1-\cos(\pi/3)=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}).

Passo 3

Explico a fórmula que vou usar (a “aula curta”): para curvas polares, a área de uma região que, para cada \theta em [a,b], está entre r=0 e r=f(\theta) é
A=\tfrac{1}{2}\int_{a}^{b} \bigl(f(\theta)\bigr)^{2}\,d\theta.
Motivação rápida: um sector de ângulo d\theta e raio r tem área aproximada \tfrac{1}{2}r^{2}d\theta; somando (integrando) obtém-se a fórmula acima. Aqui f(\theta) será o menor dos dois raios, pois a região comum tem, para cada direção \theta, 0\le r\le \min\{1-\cos\theta,\cos\theta\}.
Agora preciso entender, para cada \theta, qual curva dá o menor r. Calculo a diferença:
(1-\cos\theta)-\cos\theta = 1-2\cos\theta.
Logo:
  • Se \cos\theta>\tfrac{1}{2} (ou seja |\theta|<\tfrac{\pi}{3} módulo 2\pi), então 1-2\cos\theta<0 e portanto 1-\cos\theta<\cos\theta: o cardioide r=1-\cos\theta está “por dentro” do círculo r=\cos\theta.
  • Se \cos\theta<\tfrac{1}{2} (por exemplo \tfrac{\pi}{3}<|\theta|<\tfrac{\pi}{2}), então \cos\theta<1-\cos\theta e o círculo está por dentro.
Também é importante notar que r=\cos\theta é positivo apenas quando \cos\theta>0, isto é para \theta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) (caso contrário o mesmo ponto da curva é obtido com r\ge0 e outro ângulo, mas para integrar a região interna interessa onde r é não-negativo na direção \theta). Assim a região comum aparece apenas para \theta entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}. Portanto a fronteira da região comum, ao seguirmos \theta de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}, é dada por:
  • de \theta=-\tfrac{\pi}{2} até \theta=-\tfrac{\pi}{3}: pelo círculo r=\cos\theta,
  • de \theta=-\tfrac{\pi}{3} até \theta=\tfrac{\pi}{3}: pelo cardioide r=1-\cos\theta,
  • de \theta=\tfrac{\pi}{3} até \theta=\tfrac{\pi}{2}: pelo círculo r=\cos\theta.

Passo 4

Por simetria em relação ao eixo x (ambas as curvas são simétricas em x), posso integrar só de 0 a \tfrac{\pi}{2} e dobrar a área. Assim a área buscada é
A = 2\cdot \tfrac{1}{2}\left(\int_{0}^{\pi/3} (1-\cos\theta)^{2}\,d\theta + \int_{\pi/3}^{\pi/2} (\cos\theta)^{2}\,d\theta\right).
Simplificando o fator 2\cdot\tfrac12, fica
A = \int_{0}^{\pi/3} (1-\cos\theta)^{2}\,d\theta \;+\; \int_{\pi/3}^{\pi/2} \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 5

Calculo da primeira integral passo a passo. Expando o quadrado:
(1-\cos\theta)^{2} = 1 - 2\cos\theta + \cos^{2}\theta.
Integro termo a termo usando antiderivadas conhecidas:
\int 1\,d\theta = \theta,\qquad \int \cos\theta\,d\theta=\sin\theta,\qquad \int \cos^{2}\theta\,d\theta = \int \tfrac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta = \tfrac{\theta}{2} + \tfrac{\sin 2\theta}{4}.
Portanto
\int_{0}^{\pi/3} (1-\cos\theta)^{2}\,d\theta = \Bigl(\theta - 2\sin\theta + \tfrac{\theta}{2} + \tfrac{\sin 2\theta}{4}\Bigr)\Big|_{0}^{\pi/3}.
Avalio em \theta=\tfrac{\pi}{3}: \theta+\tfrac{\theta}{2}=\tfrac{3\theta}{2}=\tfrac{3\pi}{6}=\tfrac{\pi}{2}; \sin\theta=\sin(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{\sqrt{3}}{2}; \sin2\theta=\sin(\tfrac{2\pi}{3})=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Substituindo:
\int_{0}^{\pi/3} (1-\cos\theta)^{2}\,d\theta = \tfrac{\pi}{2} - 2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{\pi}{2} - \sqrt{3} + \tfrac{\sqrt{3}}{8} = \tfrac{\pi}{2} - \tfrac{7\sqrt{3}}{8}.

Passo 6

Calculo da segunda integral. Uso a identidade de nova vez:
\cos^{2}\theta = \tfrac{1+\cos 2\theta}{2},
portanto
\int_{\pi/3}^{\pi/2} \cos^{2}\theta\,d\theta = \Bigl(\tfrac{\theta}{2} + \tfrac{\sin 2\theta}{4}\Bigr)\Big|_{\pi/3}^{\pi/2}.
Avalio nos limites: para \theta=\tfrac{\pi}{2} obtém-se \tfrac{\pi}{4}+0. Para \theta=\tfrac{\pi}{3} obtém-se \tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\sqrt{3}}{8}. Subtraindo:
\int_{\pi/3}^{\pi/2} \cos^{2}\theta\,d\theta = \tfrac{\pi}{4} - \Bigl(\tfrac{\pi}{6} + \tfrac{\sqrt{3}}{8}\Bigr) = \tfrac{\pi}{12} - \tfrac{\sqrt{3}}{8}.

Passo 7

Somando as duas integrais que representam A:
A = \Bigl(\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{7\sqrt{3}}{8}\Bigr) + \Bigl(\tfrac{\pi}{12} - \tfrac{\sqrt{3}}{8}\Bigr).
Agrupando termos em \pi e em \sqrt{3}:
\tfrac{\pi}{2} + \tfrac{\pi}{12} = \tfrac{6\pi}{12} + \tfrac{\pi}{12} = \tfrac{7\pi}{12}, \qquad -\tfrac{7\sqrt{3}}{8} - \tfrac{\sqrt{3}}{8} = -\tfrac{8\sqrt{3}}{8} = -\sqrt{3}.
Logo
A = \tfrac{7\pi}{12} - \sqrt{3}.

Resposta

\dfrac{7\pi}{12} - \sqrt{3}

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