Resolva as integrais
\int \frac{-x^{2}+x+1}{x^{3}+x} dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{-x^{2}+x+1}{x^{3}+x}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O integrando é a função racional \dfrac{-x^{2}+x+1}{x^{3}+x}.
  • O denominador é x^{3}+x.
  • Nenhuma figura ou dado externo foi fornecido.

Passo 2

Fatorar o denominador para ver sua estrutura e facilitar a decomposição em frações parciais. Fazer fatoração por fator comum:
x^{3}+x = x\,(x^{2}+1).
Portanto o integrando pode ser escrito como
\frac{-x^{2}+x+1}{x\,(x^{2}+1)}.

Passo 3

Explicar o método de frações parciais que vamos usar (aula rápida): quando temos uma fração racional própria — isto é, o grau do numerador é menor que o do denominador — e o denominador fatora em fatores simples e irreduzíveis, podemos escrever a fração como soma de termos mais simples. Aqui o denominador tem um fator linear (x) e um quadrático irreduzível (x^{2}+1). A forma geral da decomposição é
\frac{-x^{2}+x+1}{x\,(x^{2}+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A, B e C são constantes a determinar. Observação: isso é permitido porque o numerador tem grau 2 e o denominador grau 3 (já é própria).

Passo 4

Determinar A\), \(B\) e \(C\). Multiplicando ambos os lados por \(x\,(x^{2}+1)\) obtemos a identidade polinomial \[-x^{2}+x+1 = A\,(x^{2}+1) + (Bx+C)\,x.
Expandindo o lado direito:
A\,x^{2}+A + B\,x^{2} + C\,x = (A+B)\,x^{2} + C\,x + A.
Comparando coeficientes dos termos de mesma potência de x (coeficiente de x^{2}, de x e termo constante), temos o sistema
\begin{cases} A+B = -1,\\[4pt] C = 1,\\[4pt] A = 1. \end{cases}
Da terceira equação vem A=1\]. Substituindo em \(A+B=-1 obtemos 1+B=-1 logo B=-2. E já tínhamos C=1. Portanto
A=1,\qquad B=-2,\qquad C=1.]

Passo 5

Reescrever a integral usando a decomposição encontrada:
\frac{-x^{2}+x+1}{x^{3}+x} = \frac{1}{x} + \frac{-2x+1}{x^{2}+1}.
Assim
\int \frac{-x^{2}+x+1}{x^{3}+x}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx + \int \frac{-2x}{x^{2}+1}\,dx + \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
Dividir em três integrais facilita o cálculo.

Passo 6

Integrar cada termo explicando as fórmulas usadas.
  1. Integral de \dfrac{1}{x}. Fato conhecido (e fácil de justificar): a primitiva de \dfrac{1}{x} é o logaritmo natural. Logo
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|.
Lembrar do valor absoluto porque x pode ser negativo.
  1. Integral de \dfrac{-2x}{x^{2}+1}. Fazer substituição u = x^{2}+1. Então du = 2x\,dx, ou seja 2x\,dx = du. Portanto -2x\,dx = -du. Assim
\int \frac{-2x}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{-1}{u}\,du = -\ln|u| + \text{const}.
Como u=x^{2}+1>0 para todo x, podemos tirar as barras:
-\ln|u| = -\ln(x^{2}+1).
  1. Integral de \dfrac{1}{x^{2}+1}. Conhecimento padrão de integrais: a primitiva é a função arco-tangente:
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x.
(Isto vem da derivada \dfrac{d}{dx}\arctan x = \dfrac{1}{x^{2}+1}.)

Passo 7

Somando as primitivas dos três termos obtemos a primitiva geral da integral original:
\ln|x| - \ln(x^{2}+1) + \arctan x + C,
onde C é a constante de integração. Podemos também juntar os logaritmos:
\ln\!\bigg(\frac{|x|}{x^{2}+1}\bigg) + \arctan x + C,
mas tanto a forma separada quanto a combinada estão corretas.

Resposta

\ln|x| - \ln(x^{2}+1) + \arctan x + C

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