Resolva as integrais \int \frac{-x^{2}+x+1}{x^{3}+x} dx
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{-x^{2}+x+1}{x^{3}+x}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
O integrando é a função racional \dfrac{-x^{2}+x+1}{x^{3}+x}.
O denominador é x^{3}+x.
Nenhuma figura ou dado externo foi fornecido.
Passo 2
Fatorar o denominador para ver sua estrutura e facilitar a decomposição em frações parciais. Fazer fatoração por fator comum:
x^{3}+x = x\,(x^{2}+1).
Portanto o integrando pode ser escrito como
\frac{-x^{2}+x+1}{x\,(x^{2}+1)}.
Passo 3
Explicar o método de frações parciais que vamos usar (aula rápida): quando temos uma fração racional própria — isto é, o grau do numerador é menor que o do denominador — e o denominador fatora em fatores simples e irreduzíveis, podemos escrever a fração como soma de termos mais simples. Aqui o denominador tem um fator linear (x) e um quadrático irreduzível (x^{2}+1). A forma geral da decomposição é
onde A, B e C são constantes a determinar. Observação: isso é permitido porque o numerador tem grau 2 e o denominador grau 3 (já é própria).
Passo 4
Determinar A\), \(B\) e \(C\). Multiplicando ambos os lados por \(x\,(x^{2}+1)\) obtemos a identidade polinomial
\[-x^{2}+x+1 = A\,(x^{2}+1) + (Bx+C)\,x.