Resolva as integrais
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma primitiva (ou seja, uma fórmula
tal que ).
Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Ideia geral (sem formalizar o método ainda): temos um produto
vezes
. Quando aparece um produto de uma função polinomial (aqui
) por uma exponencial, uma técnica muito eficiente é transformar a integral de modo que a parte polinomial fique mais simples — normalmente isso é feito usando a fórmula de integração por partes. Vou apresentar essa fórmula e explicar por que funciona.
Passo 3
Derivação e explicação da fórmula de integração por partes.
- Começamos do resultado da regra do produto: se
e são funções diferenciáveis, então
- Integrando ambos os lados em
,
- Reorganizando para isolar
,
Esta é a fórmula de integração por partes. Em palavras:
- escolher
de modo que seja mais simples que ; - escolher
de modo que seja fácil integrar e obter .
Aqui
significa
e
significa
. O
final indica a constante de integração.
Passo 4
Escolha de
e
para o nosso caso.
- Tomamos
. Assim . - Tomamos
. Precisamos achar .
Calcular
:
- Usamos a regra
(pois derivando volta ). - Aqui
, então
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes
.
- Substituindo
, e , obtemos
- Simplificando os sinais,
- Já calculamos
. Substituindo:
- Multiplicando,
Passo 6
Organizando a resposta de forma mais compacta (fatorando
):
Comentários rápidos de verificação (útil na prova): se derivar a expressão acima deve voltar
. Fazer essa diferenciação é um exercício direto de regra do produto e confirma a primitiva.