Resolva as integrais
\int x e^{-4 x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x e^{-4 x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x e^{-4 x}.
  • Quer-se uma primitiva (ou seja, uma fórmula F(x)+C tal que F'(x)=x e^{-4 x}).
    Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Ideia geral (sem formalizar o método ainda): temos um produto x vezes e^{-4x}. Quando aparece um produto de uma função polinomial (aqui x) por uma exponencial, uma técnica muito eficiente é transformar a integral de modo que a parte polinomial fique mais simples — normalmente isso é feito usando a fórmula de integração por partes. Vou apresentar essa fórmula e explicar por que funciona.

Passo 3

Derivação e explicação da fórmula de integração por partes.
  • Começamos do resultado da regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\big(u(x)v(x)\big)' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
  • Integrando ambos os lados em x,
\int \big(u' v + u v'\big)\,dx = u v + C.
  • Reorganizando para isolar \int u v' \,dx,
\int u v'\,dx = u v - \int u' v\,dx.
Esta é a fórmula de integração por partes. Em palavras:
  • escolher u de modo que u' seja mais simples que u;
  • escolher v' de modo que seja fácil integrar e obter v.
Aqui u' significa \dfrac{du}{dx} e v' significa \dfrac{dv}{dx}. O C final indica a constante de integração.

Passo 4

Escolha de u e v' para o nosso caso.
  • Tomamos u = x. Assim u' = \dfrac{d}{dx}x = 1.
  • Tomamos v' = e^{-4x}. Precisamos achar v=\int v'\,dx.
Calcular v=\int e^{-4x}\,dx:
  • Usamos a regra \int e^{a x}\,dx = \dfrac{1}{a} e^{a x} + C (pois derivando \dfrac{1}{a} e^{a x} volta e^{a x}).
  • Aqui a=-4, então
v = \int e^{-4x}\,dx = \frac{1}{-4} e^{-4x} = -\frac{1}{4} e^{-4x}.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes \int u v'\,dx = u v - \int u' v\,dx.
  • Substituindo u=x, v=-\dfrac{1}{4} e^{-4x} e u'=1, obtemos
\int x e^{-4x}\,dx = x\left(-\frac{1}{4} e^{-4x}\right) - \int 1\cdot\left(-\frac{1}{4} e^{-4x}\right)\,dx.
  • Simplificando os sinais,
\int x e^{-4x}\,dx = -\frac{1}{4} x e^{-4x} + \frac{1}{4}\int e^{-4x}\,dx.
  • Já calculamos \int e^{-4x}\,dx = -\dfrac{1}{4} e^{-4x}. Substituindo:
\int x e^{-4x}\,dx = -\frac{1}{4} x e^{-4x} + \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4} e^{-4x}\right).
  • Multiplicando,
\int x e^{-4x}\,dx = -\frac{1}{4} x e^{-4x} - \frac{1}{16} e^{-4x} + C.

Passo 6

Organizando a resposta de forma mais compacta (fatorando e^{-4x}):
\int x e^{-4x}\,dx = -\frac{1}{16}\big(4x+1\big)e^{-4x} + C.
Comentários rápidos de verificação (útil na prova): se derivar a expressão acima deve voltar x e^{-4x}. Fazer essa diferenciação é um exercício direto de regra do produto e confirma a primitiva.

Resposta

-\dfrac{1}{16}\big(4x+1\big)e^{-4x}+C

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