Resolva as integrais
\int_{0}^{1} x e^{-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x e^{-x^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é x e^{-x^{2}}.
  • Os limites de integração são x=0 e x=1.
  • A função é contínua em [0,1], então a integral definida existe.
    O objetivo é encontrar o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Ideia de resolução (por que escolher esse caminho).
  • Repare que dentro do expoente aparece x^{2} e fora do expoente aparece um fator x. Isso sugere usar uma substituição do tipo u = x^{2}, porque a derivada de x^{2} é 2x, e isso se relaciona com o fator x que já está no integrando.
  • Explicando a técnica de substituição: se u=g(x) é diferenciável, então du = g'(x)\,dx. Ao escrever a integral em termos de u, trocam-se x por u e dx por du, ajustando constantes quando necessário. Em notação:
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du,
onde u=g(x) e du=g'(x)\,dx.
  • Aqui queremos transformar \int x e^{-x^{2}}\,dx em algo como \int e^{-u}\,du.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente.
  • Escolha u = x^{2}.
  • Calcule du. Derivando u em relação a x:
du = 2x\,dx.
  • Isolando x\,dx em termos de du:
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Essa relação permitirá substituir x\,dx na integral.

Passo 4

Trocar os limites de integração e reescrever a integral.
  • Quando x=0, temos u = 0^{2} = 0.
  • Quando x=1, temos u = 1^{2} = 1.
  • Substituindo u e x\,dx na integral:
\int_{0}^{1} x e^{-x^{2}}\,dx = \int_{u=0}^{u=1} e^{-u}\left(\frac{1}{2}\,du\right) = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-u}\,du.

Passo 5

Calcular a integral em u e voltar para o resultado final.
  • A primitiva de e^{-u} é -e^{-u}, pois \dfrac{d}{du}(-e^{-u}) = e^{-u}.
  • Então
\int_{0}^{1} e^{-u}\,du = \bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{1} = -e^{-1} - (-e^{0}) = 1 - e^{-1}.
  • Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que apareceu na substituição:
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-u}\,du = \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-1}\bigr).

Passo 6

Observação alternativa e generalização rápida (dica para a prova).
  • Alternativa: reconhecer que \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{2}}\bigr) = -2x e^{-x^{2}}. Assim
x e^{-x^{2}} = -\tfrac{1}{2}\,\dfrac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{2}}\bigr),
e a integral definida transforma-se diretamente em -\tfrac{1}{2}[e^{-x^{2}}]_{0}^{1}, levando ao mesmo resultado.
  • Generalização útil: para a\neq 0,
\int x e^{-a x^{2}}\,dx = -\frac{1}{2a} e^{-a x^{2}} + C.
Dica prática: em provas, ao ver e^{(\text{algo quadrático})}á vezes a derivada desse “algo”, pense em substituição ou em reconhecer uma derivada total.

Resposta

\dfrac{1}{2}\bigl(1-e^{-1}\bigr)

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