Resolva as integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas e observações iniciais:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - A função é contínua em
, então a integral definida existe.
O objetivo é encontrar o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Ideia de resolução (por que escolher esse caminho).
- Repare que dentro do expoente aparece
e fora do expoente aparece um fator . Isso sugere usar uma substituição do tipo , porque a derivada de é , e isso se relaciona com o fator que já está no integrando. - Explicando a técnica de substituição: se
é diferenciável, então . Ao escrever a integral em termos de , trocam-se por e por , ajustando constantes quando necessário. Em notação:
onde
e
.
- Aqui queremos transformar
em algo como .
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente.
- Escolha
. - Calcule
. Derivando em relação a :
- Isolando
em termos de :
Essa relação permitirá substituir
na integral.
Passo 4
Trocar os limites de integração e reescrever a integral.
- Quando
, temos . - Quando
, temos . - Substituindo
e na integral:
Passo 5
Calcular a integral em
e voltar para o resultado final.
- A primitiva de
é , pois . - Então
- Multiplicando pelo fator
que apareceu na substituição:
Passo 6
Observação alternativa e generalização rápida (dica para a prova).
- Alternativa: reconhecer que
. Assim
e a integral definida transforma-se diretamente em
, levando ao mesmo resultado.
- Generalização útil: para
,
Dica prática: em provas, ao ver
vezes a derivada desse “algo”, pense em substituição ou em reconhecer uma derivada total.