Resolva as integrais
\int_{0}^{1} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}\,dx.
Informações dadas:
  • Integrando: \dfrac{x}{(x^{2}+1)^{3}}.
  • Intervalo de integração: de x=0 até x=1.
    O objetivo é obter o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Observação e escolha do método. Note que o denominador é uma função de x^{2}+1 e o numerador contém um fator x\,dx. Isso sugere a substituição
u = x^{2}+1.
Vou explicar por que essa escolha é natural: ao derivar u obtemos du = 2x\,dx, ou seja, o diferencial x\,dx aparece (até uma constante), o que facilita transformar toda a integral em uma em u. Sempre que uma parte do integrando for proporcional à derivada interna de outra parte (a “cadeia”), a substituição é uma boa estratégia.

Passo 3

Faço a substituição explicitamente:
u = x^{2}+1,\qquad du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Agora troco os limites de integração: quando x=0 tem-se u=0^{2}+1=1; quando x=1 tem-se u=1^{2}+1=2.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{1} \frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx = \int_{u=1}^{u=2} \frac{1}{u^{3}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{-3}\,du.

Passo 4

Agora integro u^{-3}. Lembrete da regra básica de integração: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-3, então
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}u^{-2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora,
\frac{1}{2}\int u^{-3}\,du = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}u^{-2}\right) = -\frac{1}{4}u^{-2}.
Portanto uma primitiva adequada é -\dfrac{1}{4}u^{-2}.

Passo 5

Avalio a primitiva entre os limites u=1 e u=2:
\left.-\frac{1}{4}u^{-2}\right|_{1}^{2} = -\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{1^{2}}\right) = -\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}-1\right).
Faço as contas internas com cuidado:
\frac{1}{4}-1 = -\frac{3}{4},
então
-\frac{1}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{3}{16}.

Passo 6

(Atalho / verificação) Outra maneira rápida de ver isso é notar que
\frac{d}{dx}\bigl((x^{2}+1)^{-2}\bigr) = -2(x^{2}+1)^{-3}\cdot 2x = -\frac{4x}{(x^{2}+1)^{3}}.
Assim \dfrac{x}{(x^{2}+1)^{3}} = -\dfrac{1}{4}\dfrac{d}{dx}\bigl((x^{2}+1)^{-2}\bigr). Integrando de 0 a 1
-\frac{1}{4}\left[(x^{2}+1)^{-2}\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}-1\right) = \frac{3}{16},
mesmo resultado — boa verificação.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{16}

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