Intervalo de integração: de x=0 até x=1.
O objetivo é obter o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Observação e escolha do método. Note que o denominador é uma função de x^{2}+1 e o numerador contém um fator x\,dx. Isso sugere a substituição
u = x^{2}+1.
Vou explicar por que essa escolha é natural: ao derivar u obtemos du = 2x\,dx, ou seja, o diferencial x\,dx aparece (até uma constante), o que facilita transformar toda a integral em uma em u. Sempre que uma parte do integrando for proporcional à derivada interna de outra parte (a “cadeia”), a substituição é uma boa estratégia.
Passo 3
Faço a substituição explicitamente:
u = x^{2}+1,\qquad du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Agora troco os limites de integração: quando x=0 tem-se u=0^{2}+1=1; quando x=1 tem-se u=1^{2}+1=2.