Resolva as integrais
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral imprópria
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- O integrando é
. - O intervalo de integração vai de
até , ou seja, o limite superior é infinito.
A pergunta implícita é: essa integral converge (tem valor finito)? Se sim, qual é o seu valor?
Passo 2
Primeiro passo técnico: reconhecer que é uma integral imprópria do tipo com limite de integração infinito. Isso significa que devemos defini-la por limite. Escrevemos
Explicação rápida do conceito: uma integral com limite infinito só faz sentido se a integral até
tiver um limite finito quando
cresce sem limite. Então transformamos o problema em calcular a integral definida
e depois tomar
.
Passo 3
Agora preciso encontrar uma primitiva (antiderivada) de
. Uso a regra de potência para integrais:
- Regra: para
, .
Aqui. Então tomo e aplico a fórmula:
Em notação mais familiar:
Explicando as variáveis:
é a variável de integração;
é a constante de integração que aparece quando se calcula uma primitiva.
Passo 4
Aplico a primitiva para a integral definida
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Faço as contas com calma:
Passo 5
Agora volto ao passo do limite para a integral imprópria:
Calculo o limite: quando
,
. Logo
Portanto a integral converge e seu valor é
.
Passo 6
Comentário didático (útil na prova): essa é um caso particular da integral p:
que converge se, e somente se,
. No nosso caso
, então era de se esperar convergência. Mas sempre faça os passos: encontrar a primitiva e tomar o limite do parâmetro; isso evita erros em provas.