Resolva as integrais
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O integrando é \frac{1}{x^{2}}.
  • O intervalo de integração vai de 1 até +\infty, ou seja, o limite superior é infinito.
    A pergunta implícita é: essa integral converge (tem valor finito)? Se sim, qual é o seu valor?

Passo 2

Primeiro passo técnico: reconhecer que é uma integral imprópria do tipo com limite de integração infinito. Isso significa que devemos defini-la por limite. Escrevemos
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^{2}}\,dx.
Explicação rápida do conceito: uma integral com limite infinito só faz sentido se a integral até b tiver um limite finito quando b cresce sem limite. Então transformamos o problema em calcular a integral definida \int_{1}^{b} \frac{1}{x^{2}}\,dx e depois tomar b\to\infty.

Passo 3

Agora preciso encontrar uma primitiva (antiderivada) de \frac{1}{x^{2}}. Uso a regra de potência para integrais:
  • Regra: para n\neq -1, \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
    Aqui \frac{1}{x^{2}} = x^{-2}. Então tomo n=-2 e aplico a fórmula:
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -x^{-1} + C.
Em notação mais familiar:
\int \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{1}{x} + C.
Explicando as variáveis: x é a variável de integração; C é a constante de integração que aparece quando se calcula uma primitiva.

Passo 4

Aplico a primitiva para a integral definida \int_{1}^{b} \frac{1}{x^{2}}\,dx. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{1}^{b} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{x=1}^{x=b} = -\frac{1}{b} -\Big(-\frac{1}{1}\Big).
Faço as contas com calma: -\frac{1}{b} -(-1) = -\frac{1}{b} + 1 = 1 - \frac{1}{b}.

Passo 5

Agora volto ao passo do limite para a integral imprópria:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{b\to\infty} \left(1 - \frac{1}{b}\right).
Calculo o limite: quando b\to\infty, \frac{1}{b}\to 0. Logo
\lim_{b\to\infty} \left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1 - 0 = 1.
Portanto a integral converge e seu valor é 1.

Passo 6

Comentário didático (útil na prova): essa é um caso particular da integral p:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}}\,dx
que converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=2>1, então era de se esperar convergência. Mas sempre faça os passos: encontrar a primitiva e tomar o limite do parâmetro; isso evita erros em provas.

Resposta

1

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