Resolva as integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações dadas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
, ou seja, o limite superior é infinito (por isso é uma integral imprópria).
Não vou calcular ainda; apenas listei o que o problema fornece.
Passo 2
Definição e procedimento para integrais com limite infinito: quando há um limite de integração infinito, interpreta-se a integral como um limite de integrais próprias. Escrevemos
Isso significa: primeiro calcula-se
para
finito; depois avalia-se o limite dessa expressão quando
cresce sem limite. Se esse limite for um número finito, a integral converge; se for
ou não existir, a integral diverge.
Passo 3
Calcular a primitiva (antiderivada) de
: conhecemos a regra básica
Aqui
é o logaritmo natural. Isso nos diz que uma primitiva de
em
é
. Observação importante: a primitiva
só é válida para
, e como o intervalo de integração é
, estamos dentro desse domínio.
Passo 4
Calcular a integral definida até
usando a primitiva
:
Como
, tem-se
Passo 5
Agora aplicar o passo 2: tomar o limite quando
:
Sabemos que a função
cresce sem limite quando
. Uma forma direta de ver isso é: dado qualquer
, escolhe-se
, então
; como podemos fazer
arbitrariamente grande,
não fica preso a nenhum número finito. Portanto
Passo 6
Conclusão sobre a integral: como o limite da integral até
tende a
, a integral imprópria diverge (não converge para um número finito). Em outras palavras, a área sob a curva
de
até o infinito é infinita.
Passo 7
Contexto útil (para a prova): este é o caso crítico da família das integrais-p:
- se
, a integral converge; por exemplo, para ,
- se
, a integral diverge; o caso é exatamente a integral que resolvemos aqui. Isso é uma regra rápida que vale a pena decorar para a prova.