Resolva as integrais
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \frac{1}{x}.
  • O intervalo de integração é [1,\infty), ou seja, o limite superior é infinito (por isso é uma integral imprópria).
    Não vou calcular ainda; apenas listei o que o problema fornece.

Passo 2

Definição e procedimento para integrais com limite infinito: quando há um limite de integração infinito, interpreta-se a integral como um limite de integrais próprias. Escrevemos
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,dx = \lim_{R\to\infty} \int_{1}^{R} \frac{1}{x}\,dx.
Isso significa: primeiro calcula-se \int_{1}^{R} \frac{1}{x}\,dx para R finito; depois avalia-se o limite dessa expressão quando R cresce sem limite. Se esse limite for um número finito, a integral converge; se for +\infty ou não existir, a integral diverge.

Passo 3

Calcular a primitiva (antiderivada) de \frac{1}{x}: conhecemos a regra básica
\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x}\quad\text{para }x>0.
Aqui \ln x é o logaritmo natural. Isso nos diz que uma primitiva de \dfrac{1}{x} em x>0 é \ln x. Observação importante: a primitiva \ln x só é válida para x>0, e como o intervalo de integração é [1,\infty), estamos dentro desse domínio.

Passo 4

Calcular a integral definida até R usando a primitiva \ln x:
\int_{1}^{R} \frac{1}{x}\,dx = \big[\ln x\big]_{1}^{R} = \ln R - \ln 1.
Como \ln 1 = 0, tem-se
\int_{1}^{R} \frac{1}{x}\,dx = \ln R.

Passo 5

Agora aplicar o passo 2: tomar o limite quando R\to\infty:
\lim_{R\to\infty} \int_{1}^{R} \frac{1}{x}\,dx = \lim_{R\to\infty} \ln R.
Sabemos que a função \ln R cresce sem limite quando R\to\infty. Uma forma direta de ver isso é: dado qualquer M>0, escolhe-se R=e^{M}, então \ln R=M; como podemos fazer M arbitrariamente grande, \ln R não fica preso a nenhum número finito. Portanto
\lim_{R\to\infty} \ln R = +\infty.

Passo 6

Conclusão sobre a integral: como o limite da integral até R tende a +\infty, a integral imprópria diverge (não converge para um número finito). Em outras palavras, a área sob a curva \frac{1}{x} de x=1 até o infinito é infinita.

Passo 7

Contexto útil (para a prova): este é o caso crítico da família das integrais-p:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}}\,dx
  • se p>1, a integral converge; por exemplo, para p=2,
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx = 1.
  • se p\le 1, a integral diverge; o caso p=1 é exatamente a integral que resolvemos aqui. Isso é uma regra rápida que vale a pena decorar para a prova.

Resposta

\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,dx = +\infty

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