Resolva as integrais:
\int \theta \cos (\pi \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \theta \cos(\pi \theta)\,d\theta.
O conteúdo necessário é a técnica de integração por partes, pois temos um produto de funções em \theta.

Passo 2

Escolhemos
u = \theta, \quad dv = \cos(\pi \theta)\,d\theta.
Então
du = d\theta \quad\text{e}\quad v = \int \cos(\pi \theta)\,d\theta = \frac{1}{\pi}\sin(\pi \theta).

Passo 3

Aplicando a fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
temos
\int \theta \cos(\pi \theta)\,d\theta = \theta\cdot\frac{1}{\pi}\sin(\pi \theta) - \int \frac{1}{\pi}\sin(\pi \theta)\,d\theta.

Passo 4

Calculamos o segundo integral:
\int \sin(\pi \theta)\,d\theta = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi \theta).
Logo,
- \int \frac{1}{\pi}\sin(\pi \theta)\,d\theta = -\frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{1}{\pi}\cos(\pi \theta)\Bigr) = \frac{1}{\pi^2}\cos(\pi \theta).

Passo 5

Somando tudo, obtemos
\int \theta \cos(\pi \theta)\,d\theta = \frac{\theta}{\pi}\sin(\pi \theta) + \frac{1}{\pi^2}\cos(\pi \theta) + C.

Resposta

\frac{\theta}{\pi}\sin(\pi \theta) + \frac{1}{\pi^2}\cos(\pi \theta) + C

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