Calcule as seguintes integrais trigonométricas.
\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \operatorname{cossec}^{4}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2}\csc^4(x)\,dx.
Este é um caso de integração de potências de função trigonométrica. Vamos usar a identidade \csc^2 x=1+\cot^2 x e, em seguida, a substituição u=\cot x.

Passo 2

Reescrevendo a integranda:
\csc^4 x = (\csc^2 x)(\csc^2 x)
e como \csc^2 x=1+\cot^2 x, então
\csc^4 x = (1+\cot^2 x)\,\csc^2 x.

Passo 3

Faço a substituição u=\cot x, de modo que
du = -\csc^2 x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \csc^2 x\,dx = -du.
Assim,
\int \csc^4 x\,dx = \int (1+u^2)\,(\csc^2 x\,dx) = \int (1+u^2)(-du) = -\int (1+u^2)\,du = -\Bigl(u + \tfrac{u^3}{3}\Bigr) + C.
Voltando a x, obtemos o antiderivado
F(x) = -\cot x \;-\;\frac{\cot^3 x}{3}.

Passo 4

Agora, avalio de x=\pi/4 a x=\pi/2.
F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -\cot\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) - \tfrac{\cot^3(\pi/2)}{3} = 0,
F\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = -\cot\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) - \tfrac{\cot^3(\pi/4)}{3} = -1 - \tfrac{1}{3} = -\tfrac{4}{3}.
Logo,
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\csc^4(x)\,dx = F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) - F\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = 0 - \bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) = \tfrac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{4}{3}

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