Resolva as integrais:
integral 2 raizx-52 raizx(x+2 raizx+5) cdot x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral 2raizx-52raizx,(x+2raizx+5),x,dx.
Para simplificar, fazemos a substituição
t=raizx, logo x=t^2 e dx=2t,dt. Em seguida, vamos decompor a função racional em frações parciais.

Passo 2

Substituindo x=t^2 e dx=2t,dt na integral, obtemos
2raizx-52raizx,x,(x+2raizx+5),dx =2t-52tcdot t^2,(t^2+2t+5)cdot2t,dt =2t-5t^2,(t^2+2t+5),dt

Passo 3

Fazemos a decomposição
2t-5t^2(t^2+2t+5) =At+Bt^2+Ct+Dt^2+2t+5
Multiplicando ambos os lados por t^2(t^2+2t+5) e igualando coeficientes, encontramos
A=45, B=-1, C=-45, D=-35

Passo 4

Reescrevendo o integrando com esses valores, fica
4/5t-1t^2 -15,4t+3t^2+2t+5
As primeiras duas parcelas integram-se diretamente:
integrall(4/5t-1t^2r)dt =45ln|t|+1t

Passo 5

Para
-15integral4t+3t^2+2t+5dt
fazemos u=t+1. Então t=u-1 e t^2+2t+5=u^2+4, o numerador vira 4u-1, e
integral4u-1u^2+4du =2ln(u^2+4)-tfrac12arctanu2
Multiplicando por -tfrac15
-25ln(u^2+4)+110arctanu2 =-25ln(t^2+2t+5)+110arctant+12

Passo 6

Voltando a t=raizx e usando ln(raizx)=tfrac12ln x, a antiderivada fica
45ln(raizx)+1raizx -25ln(x+2raizx+5) +110arctanraizx+12+C,
ou, de forma mais enxuta,
25ln x -25ln(x+2raizx+5) +1raizx +110arctanraizx+12+C

Resposta

25ln x-25ln(x+2raizx+5)+1raizx+110arctanraizx+12+C

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