Resolva as integrais:
integral sen^2(e^x) cos ^2(e^x) e^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sin^2(e^x) cos^2(e^x) e^x,dx
e vamos usar substituição e identidades trigonométricas.

Passo 2

Fazendo t = e^x, temos dt = e^x,dx. Assim a integral vira
integral sin^2(t),cos^2(t),dt

Passo 3

Para integrar sin^2(t)cos^2(t), usamos que
sin^2(t)cos^2(t) = l(sin(t)cos(t)r)^2 = l(tfrac12sin(2t)r)^2 = tfrac14sin^2(2t)

Passo 4

Aplicando a fórmula de redução
sin^2(2t) = tfrac12l(1 - cos(4t)r)
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sin^2(t)cos^2(t) = tfrac18l(1 - cos(4t)r)

Passo 5

Substituindo na integral
integral sin^2(t)cos^2(t),dt = tfrac18 integral l(1 - cos(4t)r),dt = tfrac18l(t - tfrac14sin(4t)r) + C = tfract8 - tfracsin(4t)32 + C

Passo 6

Voltando à variável x, lembrando que t=e^x, obtemos
integral sin^2(e^x)cos^2(e^x)e^x,dx = e^x8 - sinl(4e^xr)32 + C

Resposta

e^x8 - sinl(4e^xr)32 + C

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