Questão 2: (20Pts) Seja an uma sequência definida por a1=2 e an+1=5-4an, n >= 1.
a) ( 2 P t s ) Encontre os três primeiros termos da sequência an.
b) ( 6 P t s ) Mostre que 1 <= an <= 4.
c) ( 6 P t s ) Um aluno afirmou que an <= an+1. Se ele estiver falando a verdade, prove! Caso contrário, justifique!
d) ( 6 P t s ) A sequência an converge? Se sim, encontre seu limite. Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado define a sequência an por
a1 = 2, an+1 = 5 - 4an,; n>=1
O conteúdo envolve recorrência, prova por indução para faixa de valores, estudo de monotonicidade e convergência de sequência.

Passo 2

Vamos calcular os três primeiros termos explicitamente:
Para n=1,
a1 = 2
Para n=1to2,
a2 = 5 - 4a1 = 5 - 42 = 5 - 2 = 3
Para n=2to3,
a3 = 5 - 4a2 = 5 - 43 = 15 - 43 = 113

Passo 3

Prova por indução de que 1 <= an <= 4 para todo n.
Base ( n=1): a1=2 satisfaz 1<=2<=4.
Passo indutivo: suponha 1 <= an <= 4.
Como an>=1 temos tfrac4an<=4, logo
an+1 = 5 - 4an >= 5 - 4 = 1
Como an<=4 temos tfrac4an>=1, logo
an+1 = 5 - 4an <= 5 - 1 = 4
Assim 1<= an+1<=4 e a propriedade vale para todo n.

Passo 4

Estudo de monotonicidade: verificar o sinal de
an+1 - an = l(5 - 4anr) - an = 5 - an - 4an
Multiplicando por an>0, obtemos equivalência com
-an^2 + 5an - 4 >= 0 ;Long<=ftrightarrow; an^2 - 5an + 4 <= 0 ;Long<=ftrightarrow; (an - 1)(an - 4)<=0
Como já mostramos 1<= an<=4, segue (an-1)(an-4)<=0, logo an+1-an>=0. A sequência é crescente ( an<= an+1).

Passo 5

Convergência: an é crescente e está limitada superiormente por 4, logo converge. Seja
L=limntoinftyan. Passando ao limite na recorrência:
L = 5 - 4L ;Longrightarrow; L^2 = 5L - 4 ;Longrightarrow; L^2 - 5L + 4 = 0 ;Longrightarrow; (L-1)(L-4)=0
Como a sequência é crescente a partir de a1=2, o limite é o maior dos dois, ou seja L=4.

Resposta

a) Os três primeiros termos são
a1 = 2, a2 = 3, a3 = 113
b) Para todo n vale 1<= an<=4, por indução.
c) A sequência é crescente, pois an+1-an>=0 sempre.
d) Sim, a sequência converge. O limite L satisfaz L=5-4/L, com Lin1,4, e como an é crescente a partir de 2, temos
limntoinftyan = 4

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