Questão 2: (20Pts) Seja
uma sequência definida por
e
.
a) (
) Encontre os três primeiros termos da sequência
.
b) (
) Mostre que
.
c) (
) Um aluno afirmou que
. Se ele estiver falando a verdade, prove! Caso contrário, justifique!
d) (
) A sequência
converge? Se sim, encontre seu limite. Justifique sua resposta!
a) (
b) (
c) (
d) (
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
O conteúdo envolve recorrência, prova por indução para faixa de valores, estudo de monotonicidade e convergência de sequência.
Passo 2
Vamos calcular os três primeiros termos explicitamente:
Para ,
Para
Para
,
Para
,
Passo 3
Prova por indução de que
para todo
.
Base (
):
satisfaz
.
Passo indutivo: suponha
.
Como temos
, logo
Como
Como
temos
, logo
Assim
e a propriedade vale para todo
.
Passo 4
Estudo de monotonicidade: verificar o sinal de
Multiplicando por
, obtemos equivalência com
Como já mostramos
, segue
, logo
. A sequência é crescente (
).
Passo 5
Convergência:
é crescente e está limitada superiormente por
, logo converge. Seja
. Passando ao limite na recorrência:
Como a sequência é crescente a partir de
, o limite é o maior dos dois, ou seja
.
Resposta
a) Os três primeiros termos são
b) Para todo
vale
, por indução.
c) A sequência é crescente, pois sempre.
d) Sim, a sequência converge. O limite satisfaz
, com
, e como
é crescente a partir de
, temos
c) A sequência é crescente, pois
d) Sim, a sequência converge. O limite