Use diferenciação implícita para calcular a derivada da função y=f(x) em cada um dos casos abaixo:
sin (x y+51)+x arctg 2 y=4

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
sinl(xy+51r) + x,arctanl(2yr) = 4
e pede dfracdydx usando diferenciação implícita. Vamos aplicar regra da cadeia para sin(xy+51) e regra do produto mais cadeia para xarctan(2y).

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, começamos por
ddxl[sin(xy+51)r] =cosl(xy+51r),ddx(xy+51) =cosl(xy+51r)l(y + x,y'r),
onde y'=tfracdydx.

Passo 3

Agora derivamos
ddxl[x,arctan(2y)r]
por regra do produto:
1cdotarctan(2y) + xcdotddxl[arctan(2y)r]
E
ddxl[arctan(2y)r] =11+(2y)^2cdot2,y' =2,y'1+4y^2
Logo
ddxl[x,arctan(2y)r] =arctan(2y) + x2,y'1+4y^2

Passo 4

Somando as derivadas e igualando a zero (pois tfracddx[4]=0), obtemos
cos(xy+51)l(y+x,y'r) +arctan(2y) + x2,y'1+4y^2 =0

Passo 5

Agrupando os termos que contêm y':
xcos(xy+51),y' ;+;2x1+4y^2,y' ;+;ycos(xy+51)+arctan(2y)=0
Isolando y':
y'l[xcos(xy+51)+tfrac2x1+4y^2r] =-,l[ycos(xy+51)+arctan(2y)r]
Portanto
y' =-,l[ycos(xy+51)+arctan(2y)r] xcos(xy+51)+tfrac2x1+4y^2

Resposta

dydx =-l[ycos(xy+51)+arctan(2y)r] xcos(xy+51)+dfrac2x1+4y^2

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