Resolva os problemas de otimização condicionada abaixo, verificando as condições de segunda ordem através do Hessiano.
função objetivo: ; restrição: .
Passo 1
Temos o problema de otimização condicionado a achar extremos de z=(x+2)(y+1) sob a restrição 4x+6y=130. O conteúdo é multiplicadores de Lagrange e teste de segunda ordem via Hessiano bordado.
Passo 2
Montamos a Lagrangiana
As condições de primeira ordem são
e a restrição
Passo 3
Das duas primeiras equações temos
logo
Junto com 4x+6y=130, somando dá 8x=128, ou seja x=16. Daí 4·16+6y=130 leva a y=11.
Passo 4
Agora fazemos o teste de segunda ordem com o Hessiano bordado. Definindo g(x,y)=4x+6y-130, temos g_x=4, g_y=6 e o Hessiano da função objetivo f(x,y)=(x+2)(y+1) é
O Hessiano bordado é
$$
H_B=
=F1=det0&44&0=-16<0,.
F2=det HB=48>0F1=\det=-16<0,$$
Para um máximo condicionado com uma restrição, precisamos de F1<0 e F2>0, o que acontece aqui.
Passo 5
Concluímos que em (x,y)=(16,11) a função atinge um máximo local (nesse caso global, pois o problema é bilinear e somente diverge para -∞). O valor máximo é z=(16+2)(11+1)=18·12=216.
Resposta
O ponto crítico é (16,11) e corresponde a um máximo condicionado de valor z=216.