Resolva os problemas de otimização condicionada abaixo, verificando as condições de segunda ordem através do Hessiano.
função objetivo: z=(x+2)(y+1); restrição: 4 x+6 y=130.

Passo 1

Temos o problema de otimização condicionado a achar extremos de z=(x+2)(y+1) sob a restrição 4x+6y=130. O conteúdo é multiplicadores de Lagrange e teste de segunda ordem via Hessiano bordado.

Passo 2

Montamos a Lagrangiana
L(x,y,lambda) = (x+2)(y+1) - lambda(4x+6y-130)
As condições de primeira ordem são
partial Lpartial x = y+1 - 4lambda = 0,
partial Lpartial y = x+2 - 6lambda = 0,
e a restrição
4x+6y-130=0

Passo 3

Das duas primeiras equações temos
lambda = y+14, lambda = x+26
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y+14 = x+26 implies 6(y+1)=4(x+2) implies 4x -6y = -2
Junto com 4x+6y=130, somando dá 8x=128, ou seja x=16. Daí 4·16+6y=130 leva a y=11.

Passo 4

Agora fazemos o teste de segunda ordem com o Hessiano bordado. Definindo g(x,y)=4x+6y-130, temos g_x=4, g_y=6 e o Hessiano da função objetivo f(x,y)=(x+2)(y+1) é
Hf=0 & 11 & 0
O Hessiano bordado é
$$
H_B= HB= 0 & gx & gy gx & fxx & fxy gy & fyx & fyy = 0 & 4 & 6 4 & 0 & 1 6 & 1 & 0
= F1=det0&44&0=-16<0,.
F2=det HB=48>0F1=\det =-16<0,$$

Para um máximo condicionado com uma restrição, precisamos de F1<0 e F2>0, o que acontece aqui.

Passo 5

Concluímos que em (x,y)=(16,11) a função atinge um máximo local (nesse caso global, pois o problema é bilinear e somente diverge para -∞). O valor máximo é z=(16+2)(11+1)=18·12=216.

Resposta

O ponto crítico é (16,11) e corresponde a um máximo condicionado de valor z=216.

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