Resolva as integrais:
\int\left(6 x^{2}\right)\left(2 x^{3}+5\right)^{6} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (6x^{2})\,(2x^{3}+5)^{6}\,dx.
O conteúdo aqui é o método de substituição (integração por mudança de variável), pois vemos um composto (2x^{3}+5)^{6} multiplicado pela derivada interna 6x^{2}.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 2x^{3}+5.
Calculamos a diferencial de u:
du = 6x^{2}\,dx.

Passo 3

Substituímos na integral original. Como 6x^{2}\,dx = du e (2x^{3}+5)^{6} = u^{6}, temos
\int (6x^{2})\,(2x^{3}+5)^{6}\,dx = \int u^{6}\,du.

Passo 4

Agora basta integrar em u:
\int u^{6}\,du = \frac{u^{7}}{7} + C.

Passo 5

Voltando à variável x pela substituição u = 2x^{3}+5, obtemos a primitiva
\frac{(2x^{3}+5)^{7}}{7} + C.

Resposta

\frac{(2x^{3}+5)^{7}}{7} + C

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