Resolva as integrais:
\int_{e}^{e^{4}} \frac{d x}{x \sqrt{\ln x}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{e}^{e^{4}} \frac{dx}{x\,\sqrt{\ln x}}.
O conteúdo necessário é a técnica de substituição em integrais, em particular a substituição t = \ln x, que simplifica tanto o diferencial dx quanto o denominador.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \ln x,
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dt = \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad dx = x\,dt.
Substituindo em \frac{dx}{x\sqrt{\ln x}} temos
\frac{dx}{x\,\sqrt{\ln x}} = \frac{x\,dt}{x\,\sqrt{t}} = \frac{dt}{\sqrt{t}}.
Os limites também mudam: quando x=e, t=\ln e=1; quando x=e^{4}, t=\ln(e^{4})=4. Portanto a integral vira
\int_{t=1}^{t=4} \frac{dt}{\sqrt{t}}.

Passo 3

Agora basta integrar a função potência t^{-\tfrac12}:
\int t^{-\tfrac12}\,dt = 2\,t^{\tfrac12} + C.
Aplicando os limites de 1 a 4:
\int_{1}^{4} t^{-\tfrac12}\,dt = \Bigl[2\,t^{\tfrac12}\Bigr]_{1}^{4} = 2\bigl(\sqrt{4}-\sqrt{1}\bigr) = 2\,(2-1) = 2.

Resposta

2

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