Resolva as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas:
- A função a integrar é a soma de dois termos:
e . - Busca-se uma antiderivada (ou primitiva) geral, portanto o resultado deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar: integração por partes. Vou explicar bem devagar e com exemplo para você entender direitinho.
A fórmula de integração por partes é
onde:
-
é uma função que escolhemos para derivar (vai virar ), -
é a parte que escolhemos para integrar (vai virar ), -
é a derivada de multiplicada por , -
é uma primitiva de .
Regra prática: quando tiver um polinômio vezes
, costuma ser bom escolher
como o polinômio (porque ao derivar o polinômio o grau diminui) e
(porque integrar
é simples: dá
). Assim vamos reduzir o grau do polinômio até resolver.
Como mini-exemplo (útil depois), já calculemos
Escolhendo
e
:
Aplicando integração por partes:
Guarde esse resultado — vamos usá-lo em seguida.
Passo 3
Começamos separando a integral original em duas:
Agora resolvemos cada integral à parte. Primeiro
.
Passo 4
Calcular
por integração por partes (escolha
,
):
Aplicando a fórmula:
Já sabemos de
Passo 5
Distribuindo:
Fatorando
:
Passo 6
Agora calculemos
. Usamos o resultado do mini-exemplo:
Portanto
Passo 7
Somando as duas partes (lembrando que constantes de integração podem ser combinadas numa única
):
Somando os termos dentro de
:
Logo
Passo 8
Resumo da técnica aprendida (dica para a prova): para integrais da forma
com
polinômio, escolha
e
e aplique integração por partes repetidas; o resultado é sempre
vezes um polinômio da mesma ordem que
, mais constante. Isso evita muitas contas repetitivas se você lembrar do padrão.