Resolva as integrais:
\int\left(x^{2}-5 x\right) e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}-5 x\right)e^{x}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a integrar é a soma de dois termos: x^{2}e^{x} e -5x e^{x}.
  • Busca-se uma antiderivada (ou primitiva) geral, portanto o resultado deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar: integração por partes. Vou explicar bem devagar e com exemplo para você entender direitinho.
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função que escolhemos para derivar (vai virar du),
  • dv é a parte que escolhemos para integrar (vai virar v),
  • du é a derivada de u multiplicada por dx,
  • v é uma primitiva de dv.
Regra prática: quando tiver um polinômio vezes e^{x}, costuma ser bom escolher u como o polinômio (porque ao derivar o polinômio o grau diminui) e dv=e^{x}dx (porque integrar e^{x} é simples: dá e^{x}). Assim vamos reduzir o grau do polinômio até resolver.
Como mini-exemplo (útil depois), já calculemos
\int x e^{x}\,dx.
Escolhendo u=x e dv=e^{x}dx:
du=dx,\qquad v=e^{x}.
Aplicando integração por partes:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1)+C.
Guarde esse resultado — vamos usá-lo em seguida.

Passo 3

Começamos separando a integral original em duas:
\int\left(x^{2}-5 x\right)e^{x}\,dx = \int x^{2}e^{x}\,dx \;-\; 5\int x e^{x}\,dx.
Agora resolvemos cada integral à parte. Primeiro \int x^{2}e^{x}\,dx.

Passo 4

Calcular \int x^{2}e^{x}\,dx por integração por partes (escolha u=x^{2}, dv=e^{x}dx):
u=x^{2}\quad\Rightarrow\quad du=2x\,dx, \qquad dv=e^{x}dx\quad\Rightarrow\quad v=e^{x}.
Aplicando a fórmula:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \int e^{x}\cdot 2x\,dx = x^{2}e^{x} - 2\int x e^{x}\,dx.
Já sabemos de

Passo 5

\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2\bigl(e^{x}(x-1)\bigr) + C.
Distribuindo:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2x e^{x} + 2e^{x} + C.
Fatorando e^{x}:
\int x^{2}e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr) + C.

Passo 6

Agora calculemos -5\int x e^{x}\,dx. Usamos o resultado do mini-exemplo:
\int x e^{x}\,dx = e^{x}(x-1)+C.
Portanto
-5\int x e^{x}\,dx = -5\bigl(e^{x}(x-1)\bigr) + C = e^{x}(-5x+5) + C.

Passo 7

Somando as duas partes (lembrando que constantes de integração podem ser combinadas numa única C):
\int\left(x^{2}-5 x\right)e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr) + e^{x}(-5x+5) + C.
Somando os termos dentro de e^{x}:
x^{2}-2x+2 -5x+5 = x^{2}-7x+7.
Logo
\int\left(x^{2}-5 x\right)e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2}-7x+7\bigr) + C.

Passo 8

Resumo da técnica aprendida (dica para a prova): para integrais da forma \int P(x)e^{x}\,dx com P polinômio, escolha u=P(x) e dv=e^{x}dx e aplique integração por partes repetidas; o resultado é sempre e^{x} vezes um polinômio da mesma ordem que P, mais constante. Isso evita muitas contas repetitivas se você lembrar do padrão.

Resposta

e^{x}\left(x^{2}-7x+7\right)+C

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