Resolva as integrais:
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
Informações dadas e observações imediatas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - Note que
, então está bem definida nesse intervalo e a derivada conhecida de pode ser usada.
Passo 2
Método escolhido: integração por partes. Por que? Porque o integrando é produto de duas funções: uma função fácil de derivar/inverter (no caso
, cuja derivada é conhecida) e outra função fácil de integrar (
). A integração por partes costuma ser a estratégia natural para
quando um dos fatores tem derivada simples e o outro tem antiderivada simples.
Passo 3
Recordando a fórmula de integração por partes:
Aqui
e
são funções de
. Explicando cada símbolo:
-
é uma função que escolhida para ser diferenciada (vai gerar ). -
é a parte que vamos integrar para obter .
A ideia é escolhere para que e deixem a integral resultante mais simples.
Passo 4
Escolha prática para o problema:
Agora calculamos
e
:
- A derivada de
para é
Logo
(Obs.: a forma geral é
, mas como
aqui, podemos tirar o valor absoluto.)
- Integrando
obtemos
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
:
Simplificando o integrando da integral remanescente:
Portanto
onde
é a constante de integração para a antiderivada.
Passo 6
Calcular a integral
Fazemos a substituição simples
. Então
, ou seja
. Assim:
Integrando:
Portanto
Passo 7
Voltando à antiderivada encontrada no Passo 5 e usando o resultado do Passo 6:
Agora avaliamos a integral definida
usando a antiderivada acima:
Calculamos
e
.
Primeiro, valores trigonométricos úteis:
- Para
: é o ângulo cujo secante vale . Isso equivale a igual a , logo . - Para
: , portanto .
Também as raízes:
-
. -
Agora:
A integral definida é
:
Agora combinamos termos pareados:
- Termos em
: - Termos em
:
Portanto o resultado final é