Resolva as integrais:
\int_{2 / \sqrt{3}}^{2} t \cdot \operatorname{arcsec}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{2/\sqrt{3}}^{2} t\cdot\operatorname{arcsec}(t)\,dt.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O integrando é t\cdot\operatorname{arcsec}(t).
  • Os limites de integração são t=2/\sqrt{3} (inferior) e t=2 (superior).
  • Note que 2/\sqrt{3}>1, então \operatorname{arcsec}(t) está bem definida nesse intervalo e a derivada conhecida de \operatorname{arcsec}(t) pode ser usada.

Passo 2

Método escolhido: integração por partes. Por que? Porque o integrando é produto de duas funções: uma função fácil de derivar/inverter (no caso \operatorname{arcsec}(t), cuja derivada é conhecida) e outra função fácil de integrar ( t). A integração por partes costuma ser a estratégia natural para \int u\,dv quando um dos fatores tem derivada simples e o outro tem antiderivada simples.

Passo 3

Recordando a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u e v são funções de t. Explicando cada símbolo:
  • u é uma função que escolhida para ser diferenciada (vai gerar du).
  • dv é a parte que vamos integrar para obter v.
    A ideia é escolher u e dv para que du e v deixem a integral resultante mais simples.

Passo 4

Escolha prática para o problema:
u=\operatorname{arcsec}(t),\qquad dv=t\,dt.
Agora calculamos du e v:
  • A derivada de \operatorname{arcsec}(t) para t>1 é
\frac{d}{dt}\operatorname{arcsec}(t)=\frac{1}{t\sqrt{t^{2}-1}}.
Logo
du=\frac{1}{t\sqrt{t^{2}-1}}\,dt.
(Obs.: a forma geral é 1/(|t|\sqrt{t^{2}-1}), mas como t>1 aqui, podemos tirar o valor absoluto.)
  • Integrando dv obtemos
v=\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int t\cdot\operatorname{arcsec}(t)\,dt = u v - \int v\,du.
Substituindo u,v,du:
\int t\cdot\operatorname{arcsec}(t)\,dt = \frac{t^{2}}{2}\operatorname{arcsec}(t) - \int \frac{t^{2}}{2}\cdot\frac{1}{t\sqrt{t^{2}-1}}\,dt.
Simplificando o integrando da integral remanescente:
\frac{t^{2}}{2}\cdot\frac{1}{t\sqrt{t^{2}-1}}=\frac{t}{2\sqrt{t^{2}-1}}.
Portanto
\int t\cdot\operatorname{arcsec}(t)\,dt= \frac{t^{2}}{2}\operatorname{arcsec}(t)-\frac{1}{2}\int\frac{t}{\sqrt{t^{2}-1}}\,dt + C,
onde C é a constante de integração para a antiderivada.

Passo 6

Calcular a integral
\int\frac{t}{\sqrt{t^{2}-1}}\,dt.
Fazemos a substituição simples w=t^{2}-1. Então dw=2t\,dt, ou seja t\,dt=\tfrac{1}{2}\,dw. Assim:
\int\frac{t}{\sqrt{t^{2}-1}}\,dt=\int\frac{1}{\sqrt{w}}\cdot\frac{1}{2}\,dw=\frac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw.
Integrando:
\frac{1}{2}\cdot 2 w^{1/2} = w^{1/2} = \sqrt{t^{2}-1}.
Portanto
\int\frac{t}{\sqrt{t^{2}-1}}\,dt=\sqrt{t^{2}-1}+C.

Passo 7

Voltando à antiderivada encontrada no Passo 5 e usando o resultado do Passo 6:
\int t\cdot\operatorname{arcsec}(t)\,dt= \frac{t^{2}}{2}\operatorname{arcsec}(t)-\frac{1}{2}\sqrt{t^{2}-1}+C.
Agora avaliamos a integral definida \displaystyle\int_{2/\sqrt{3}}^{2} t\cdot\operatorname{arcsec}(t)\,dt usando a antiderivada acima:
F(t)=\frac{t^{2}}{2}\operatorname{arcsec}(t)-\frac{1}{2}\sqrt{t^{2}-1}.
Calculamos F(2) e F(2/\sqrt{3}).
Primeiro, valores trigonométricos úteis:
  • Para t=2: \operatorname{arcsec}(2) é o ângulo cujo secante vale 2. Isso equivale a \cos igual a 1/2, logo \operatorname{arcsec}(2)=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{3}.
  • Para t=2/\sqrt{3}: 1/t=\sqrt{3}/2, portanto \operatorname{arcsec}(2/\sqrt{3})=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{6}.
Também as raízes:
  • \sqrt{2^{2}-1}=\sqrt{3}.
  • \sqrt{\bigl(2/\sqrt{3}\bigr)^{2}-1}=\sqrt{\tfrac{4}{3}-1}=\sqrt{\tfrac{1}{3}}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}=\tfrac{\sqrt{3}}{3}.
Agora:
F(2)=\frac{2^{2}}{2}\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}\sqrt{3} =2\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}.
F\!\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\left(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}}{2}\cdot\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3} =\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{6} =\frac{\pi}{9}-\frac{\sqrt{3}}{6}.
A integral definida é F(2)-F(2/\sqrt{3}):
\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{9}-\frac{\sqrt{3}}{6}\right).
Agora combinamos termos pareados:
  • Termos em \pi: \dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{9}=\dfrac{6\pi}{9}-\dfrac{\pi}{9}=\dfrac{5\pi}{9}.
  • Termos em \sqrt{3}: -\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}=-\dfrac{3\sqrt{3}}{6}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}=-\dfrac{2\sqrt{3}}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
Portanto o resultado final é
\frac{5\pi}{9}-\frac{\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\dfrac{5\pi}{9}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}

Exercícios relacionados