Resolva as integrais, mostrando a decomposição e a integração termo a termo.
\int \frac{3 x+5}{(x-1)^{2}} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a primitiva (integral indefinida) da função dada e mostrar a decomposição e a integração termo a termo. A integral é
\int \frac{3x+5}{(x-1)^{2}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{numerador: }3x+5,\qquad \text{denominador: }(x-1)^{2}.
O integrando é uma função racional simples (um polinômio sobre uma potência de um binómio). O enunciado pede explicitamente a decomposição e a integração termo a termo.

Passo 2

Vamos decompor a função racional como soma de termos com potências de (x-1). Postulamos uma forma simples compatível com o grau do denominador:
\frac{3x+5}{(x-1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2},
onde A e B são constantes que vamos determinar.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)^2 obtemos a identidade polinomial
3x+5=A(x-1)+B.
Agora vamos igualar coeficientes. Expandindo o lado direito:
A(x-1)+B=Ax-A+B.
Comparando coeficientes de x e termos constantes:
coeficiente de x: A=3.
termo constante: -A+B=5.
Substituindo A=3 no termo constante:
-3+B=5\quad\Rightarrow\quad B=8.

Passo 3

Com A=3 e B=8 a decomposição fica
\frac{3x+5}{(x-1)^2}=\frac{3}{x-1}+\frac{8}{(x-1)^2}.
Isto é a decomposição pedida; agora vamos integrar termo a termo.

Passo 4

Integramos o primeiro termo \displaystyle\int \frac{3}{x-1}\,dx.
Explicação didática da regra usada: para qualquer constante a e variável x,
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C.
Isto vem da substituição u=x-a\Rightarrow du=dx, porque \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C.
Aplicando com fator 3:
\int \frac{3}{x-1}\,dx=3\int \frac{1}{x-1}\,dx=3\ln|x-1|+C_1.

Passo 5

Integramos o segundo termo \displaystyle\int \frac{8}{(x-1)^2}\,dx.
Explicação didática da regra usada: para n\neq -1,
\int (x-a)^n\,dx=\frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=-2, logo n+1=-1. Podemos aplicar diretamente ou usar a substituição u=x-1.
Usando a regra com n=-2:
\int \frac{8}{(x-1)^2}\,dx=8\int (x-1)^{-2}\,dx =8\cdot\frac{(x-1)^{-1}}{-1}+C_2 =-\frac{8}{x-1}+C_2.

Passo 6

Somando as primitivas dos dois termos (e lembrando que as constantes C_1 e C_2 se combinam numa única constante C), obtemos a primitiva da integral original como a soma das primitivadas parciais encontradas. Verificação rápida diferenciando as duas parcelas parciais: \dfrac{d}{dx}\bigl(3\ln|x-1|\bigr)=\dfrac{3}{x-1} e \dfrac{d}{dx}\bigl(-\dfrac{8}{x-1}\bigr)=\dfrac{8}{(x-1)^2}; somando dá exatamente \dfrac{3x+5}{(x-1)^2}, o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

3\ln|x-1|-\dfrac{8}{x-1}+C

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