Resolva as integrais, mostrando a decomposição e a integração termo a termo.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a primitiva (integral indefinida) da função dada e mostrar a decomposição e a integração termo a termo. A integral é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
O integrando é uma função racional simples (um polinômio sobre uma potência de um binómio). O enunciado pede explicitamente a decomposição e a integração termo a termo.
Passo 2
Vamos decompor a função racional como soma de termos com potências de
. Postulamos uma forma simples compatível com o grau do denominador:
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Agora vamos igualar coeficientes. Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes de
e termos constantes:
coeficiente de :
.
termo constante: .
coeficiente de
termo constante:
Substituindo
no termo constante:
Passo 3
Com
e
a decomposição fica
Isto é a decomposição pedida; agora vamos integrar termo a termo.
Passo 4
Integramos o primeiro termo
.
Explicação didática da regra usada: para qualquer constante
e variável
,
Isto vem da substituição
, porque
.
Aplicando com fator
:
Passo 5
Integramos o segundo termo
.
Explicação didática da regra usada: para
,
No nosso caso
, logo
. Podemos aplicar diretamente ou usar a substituição
.
Usando a regra com
:
Passo 6
Somando as primitivas dos dois termos (e lembrando que as constantes
e
se combinam numa única constante
), obtemos a primitiva da integral original como a soma das primitivadas parciais encontradas. Verificação rápida diferenciando as duas parcelas parciais:
e
; somando dá exatamente
, o que confirma que a primitiva está correta.