Resolva as integrais, mostrando a decomposição e a integração termo a termo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- O integrando é uma função racional com denominador fatorável como
. - Queremos a primitiva (integral indefinida), ou seja, uma expressão
tal que , mais a constante de integração.
Passo 2
Vamos decompor a fração em frações parciais para poder integrar termo a termo. A ideia é escrever
onde
e
são constantes a determinar. Essa forma funciona porque o denominador é o produto de fatores lineares distintos.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Essa igualdade vale para todo
. Uma forma prática de achar
e
é avaliar em valores que anulam os fatores.
- Para
:
- Para
:
Portanto
Passo 4
Agora integramos termo a termo. Lembra que a integral básica é
onde o valor absoluto é importante porque o logaritmo natural só aceita argumentos positivos, e a primitiva precisa funcionar tanto para
quanto para
.
Aplicando isso,
Passo 5
Integramos as duas frações:
Subtraindo (e juntando as constantes
numa só constante
) obtemos
Passo 6
Podemos também escrever a resposta de forma compacta usando propriedades dos logaritmos:
Assim uma forma alternativa da primitiva é
Passo 7
Checagem rápida (opcional, mas útil na prova): derivando a resposta encontrada deve retornar o integrando. Derivando
confirmando que a primitiva está correta.