Resolva as integrais, mostrando a decomposição e a integração termo a termo.
\int \frac{1}{x(x+2)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{x(x+2)}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é uma função racional com denominador fatorável como \,x(x+2).
  • Queremos a primitiva (integral indefinida), ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{x(x+2)}, mais a constante de integração.

Passo 2

Vamos decompor a fração em frações parciais para poder integrar termo a termo. A ideia é escrever
\frac{1}{x(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2},
onde A e B são constantes a determinar. Essa forma funciona porque o denominador é o produto de fatores lineares distintos.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x+2) obtemos a identidade polinomial
1 = A(x+2)+B x.
Essa igualdade vale para todo x. Uma forma prática de achar A e B é avaliar em valores que anulam os fatores.
  • Para x=0:
1 = A(0+2)+B\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad 1=2A \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.
  • Para x=-2:
1 = A( -2+2)+B(-2) \quad\Rightarrow\quad 1 = 0 -2B \quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{1}{2}.
Portanto
\frac{1}{x(x+2)}=\frac{1/2}{x}-\frac{1/2}{x+2}.

Passo 4

Agora integramos termo a termo. Lembra que a integral básica é
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,
onde o valor absoluto é importante porque o logaritmo natural só aceita argumentos positivos, e a primitiva precisa funcionar tanto para x>0 quanto para x<0.
Aplicando isso,
\int \frac{1}{x(x+2)}\,dx = \int \left(\frac{1/2}{x}-\frac{1/2}{x+2}\right)\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x}\,dx - \frac{1}{2}\int \frac{1}{x+2}\,dx.

Passo 5

Integramos as duas frações:
\frac{1}{2}\int \frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{2}\ln|x| + C_1,
\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+2}\,dx = \frac{1}{2}\ln|x+2| + C_2.
Subtraindo (e juntando as constantes C_1-C_2 numa só constante C) obtemos
\int \frac{1}{x(x+2)}\,dx = \frac{1}{2}\ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x+2| + C.

Passo 6

Podemos também escrever a resposta de forma compacta usando propriedades dos logaritmos:
\frac{1}{2}\ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x+2| = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x}{x+2}\right|.
Assim uma forma alternativa da primitiva é
\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x}{x+2}\right| + C.

Passo 7

Checagem rápida (opcional, mas útil na prova): derivando a resposta encontrada deve retornar o integrando. Derivando
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x+2|\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+2} = \frac{1}{2}\left(\frac{x+2 - x}{x(x+2)}\right) = \frac{1}{x(x+2)},
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln|x|-\frac{1}{2}\ln|x+2|+C

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