Resolva as integrais, mostrando a decomposição e a integração termo a termo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações importantes dadas:
A tarefa é decompor a fração em frações parciais (quando possível) e então integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro passo técnico: fatorar o denominador para ver a estrutura da decomposição. Vamos fatorar
Procuramos dois números cuja soma seja
e produto
. Esses números são
e
. Logo
Passo 3
Como o denominador é produto de dois fatores lineares distintos
e
, a decomposição em frações parciais tem a forma
onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Esta é uma identidade em
, válida para todo
. Há duas maneiras comuns de achar
e
: (i) comparar coeficientes ou (ii) escolher valores de
que anulam termos. Vou usar o método (ii), que é rápido e direto.
Passo 5
Escolhemos
(anula o fator
):
Escolhemos
(anula o fator
):
Passo 6
Substituindo
e
na decomposição obtemos
Passo 7
Explicação rápida (didática) antes de integrar: a integral é linear, ou seja, para constantes
e funções
temos
Além disso, sabemos que a derivada de
é
. Portanto a primitiva de
é
(mais uma constante). Vamos aplicar isso termo a termo.
Passo 8
Integrando termo a termo:
onde
é a constante de integração.