Resolva as integrais, mostrando a decomposição e a integração termo a termo.
\int \frac{2 x+1}{x^{2}-3 x-10} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \frac{2x+1}{x^{2}-3x-10}\,dx.
Informações importantes dadas:
\text{numerador: }2x+1,\qquad\text{denominador: }x^{2}-3x-10.
A tarefa é decompor a fração em frações parciais (quando possível) e então integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro passo técnico: fatorar o denominador para ver a estrutura da decomposição. Vamos fatorar
x^{2}-3x-10.
Procuramos dois números cuja soma seja -3 e produto -10. Esses números são -5 e +2. Logo
x^{2}-3x-10=(x-5)(x+2).

Passo 3

Como o denominador é produto de dois fatores lineares distintos (x-5) e (x+2), a decomposição em frações parciais tem a forma
\frac{2x+1}{(x-5)(x+2)}=\frac{A}{x-5}+\frac{B}{x+2},
onde A e B são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por (x-5)(x+2) para eliminar denominadores:
2x+1 = A(x+2)+B(x-5).
Esta é uma identidade em x, válida para todo x. Há duas maneiras comuns de achar A e B: (i) comparar coeficientes ou (ii) escolher valores de x que anulam termos. Vou usar o método (ii), que é rápido e direto.

Passo 5

Escolhemos x=5 (anula o fator (x-5)):
2\cdot 5+1 = A(5+2)+B(0)\quad\Rightarrow\quad 11 = 7A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{11}{7}.
Escolhemos x=-2 (anula o fator (x+2)):
2\cdot(-2)+1 = A(0)+B(-2-5)\quad\Rightarrow\quad -3 = -7B \quad\Rightarrow\quad B=\frac{3}{7}.

Passo 6

Substituindo A e B na decomposição obtemos
\frac{2x+1}{(x-5)(x+2)}=\frac{11}{7}\cdot\frac{1}{x-5}+\frac{3}{7}\cdot\frac{1}{x+2}.

Passo 7

Explicação rápida (didática) antes de integrar: a integral é linear, ou seja, para constantes c_1,c_2 e funções f,g temos
\int (c_1 f + c_2 g)\,dx = c_1\int f\,dx + c_2\int g\,dx.
Além disso, sabemos que a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}. Portanto a primitiva de \dfrac{1}{x-a} é \ln|x-a| (mais uma constante). Vamos aplicar isso termo a termo.

Passo 8

Integrando termo a termo:
\int \frac{2x+1}{x^{2}-3x-10}\,dx = \int \left(\frac{11}{7}\cdot\frac{1}{x-5}+\frac{3}{7}\cdot\frac{1}{x+2}\right)\,dx
= \frac{11}{7}\int \frac{1}{x-5}\,dx + \frac{3}{7}\int \frac{1}{x+2}\,dx = \frac{11}{7}\ln|x-5| + \frac{3}{7}\ln|x+2| + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{7}\ln|x-5|+\frac{3}{7}\ln|x+2|+C

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