- A função erro é definida por:
(a) Encontre a série de Maclaurin para
(b) Use a série para aproximar
com erro menor que
(b) Use a série para aproximar
Passo 1
O enunciado dá a definição
As perguntas são:
- (a) Encontrar a série de Maclaurin para
. - (b) Usar essa série para aproximar
com erro menor que .
As informações relevantes fornecidas são: a expressão integral da função erro e o valor de
para a aproximação,
. A série de Maclaurin é a expansão em potências de
centrada em
.
Passo 2
Vamos expandir o integrando
em série de potências. Lembra da série de Taylor (Maclaurin) da exponencial? Para todo
temos
Aqui substituímos
e obtemos a série para
:
Essa série converge para todo
(a exponencial é uma função inteira), então podemos integrá-la termo a termo no intervalo
. Justificativa curta: em qualquer intervalo finito a série uniformemente converge e a integração termo a termo é permitida.
Passo 3
Integramos termo a termo a série obtida:
Calcule a integral de potências:
Logo
Passo 4
Multiplicando pelo fator
da definição, obtemos a série de Maclaurin para
:
Para visualizar os primeiros termos, escrevemos explicitamente:
isto é,
Passo 5
Agora a parte numérica: aproximar
com erro menor que
.
Observação útil: para
a série é alternada em sinais (começa positiva) e os módulos dos termos
tendem para
. Para
os termos formam uma sequência decrescente a partir de
(isso pode ser verificado numericamente porque
cresce rápido). Pelo critério da série alternada, o erro ao truncar depois de
termos tem magnitude menor ou igual ao próximo termo omitido
. Então basta encontrar
tal que
.
Calculemos constantes e termos numericamente (uso aproximações decimais; todas as quantidades numéricas estão dentro de TeX):
Para
temos os termos (módulos):
Aqui vemos que
. Portanto, se calcularmos a soma parcial até
(ou seja, usamos os termos
), o erro será no máximo
.
Passo 6
Calcule a soma parcial com
. A série tem sinais alternados, então
Usando os valores dos termos já computados (com os sinais):
Fazendo as somas passo a passo:
Portanto a aproximação obtida é
e, pelo argumento do resto alternado, o erro absoluto é menor que
.