1. A função erro é definida por:
\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t
(a) Encontre a série de Maclaurin para \operatorname{erf}(x)
(b) Use a série para aproximar \operatorname{erf}(0.5) com erro menor que 10^{-4}

Passo 1

O enunciado dá a definição
\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt.
As perguntas são:
  1. (a) Encontrar a série de Maclaurin para \operatorname{erf}(x).
  2. (b) Usar essa série para aproximar \operatorname{erf}(0,5) com erro menor que 10^{-4}.
As informações relevantes fornecidas são: a expressão integral da função erro e o valor de x para a aproximação, x=0,5. A série de Maclaurin é a expansão em potências de x centrada em 0.

Passo 2

Vamos expandir o integrando e^{-t^{2}} em série de potências. Lembra da série de Taylor (Maclaurin) da exponencial? Para todo u temos
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!}.
Aqui substituímos u=-t^{2} e obtemos a série para e^{-t^{2}}:
e^{-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}t^{2n}}{n!}.
Essa série converge para todo t (a exponencial é uma função inteira), então podemos integrá-la termo a termo no intervalo [0,x]. Justificativa curta: em qualquer intervalo finito a série uniformemente converge e a integração termo a termo é permitida.

Passo 3

Integramos termo a termo a série obtida:
\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}t^{2n}}{n!}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_{0}^{x} t^{2n}\,dt.
Calcule a integral de potências:
\int_{0}^{x} t^{2n}\,dt=\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Logo
\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n} x^{2n+1}}{n!(2n+1)}.

Passo 4

Multiplicando pelo fator \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} da definição, obtemos a série de Maclaurin para \operatorname{erf}(x):
\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n} x^{2n+1}}{n!(2n+1)}.
Para visualizar os primeiros termos, escrevemos explicitamente:
\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\Bigg(x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{2\cdot 5}-\frac{x^{7}}{6\cdot 7}+\cdots\Bigg)
isto é,
\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\Bigg(x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{10}-\frac{x^{7}}{42}+\cdots\Bigg).

Passo 5

Agora a parte numérica: aproximar \operatorname{erf}(0,5) com erro menor que 10^{-4}.
Observação útil: para x>0 a série é alternada em sinais (começa positiva) e os módulos dos termos
a_{n}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)}
tendem para 0. Para x=0,5 os termos formam uma sequência decrescente a partir de n=0 (isso pode ser verificado numericamente porque n! cresce rápido). Pelo critério da série alternada, o erro ao truncar depois de N termos tem magnitude menor ou igual ao próximo termo omitido a_{N+1}. Então basta encontrar N tal que a_{N+1}<10^{-4}.
Calculemos constantes e termos numericamente (uso aproximações decimais; todas as quantidades numéricas estão dentro de TeX):
\frac{2}{\sqrt{\pi}}\approx 1,128379167.
Para x=0,5 temos os termos (módulos):
a_{0}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{0,5^{1}}{0!(1)}\approx 0,564189584,
a_{1}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{0,5^{3}}{1!(3)}\approx 0,047016632,
a_{2}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{0,5^{5}}{2!(5)}\approx 0,003526810,
a_{3}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{0,5^{7}}{3!(7)}\approx 0,000209686,
a_{4}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{0,5^{9}}{4!(9)}\approx 0,000010197.
Aqui vemos que a_{4}\approx 1,0197\cdot 10^{-5}<10^{-4}. Portanto, se calcularmos a soma parcial até n=3 (ou seja, usamos os termos n=0,1,2,3), o erro será no máximo a_{4}<10^{-4}.

Passo 6

Calcule a soma parcial com n=0,1,2,3. A série tem sinais alternados, então
S_{3}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\Bigg(0,5-\frac{0,5^{3}}{3}+\frac{0,5^{5}}{2\cdot 5}-\frac{0,5^{7}}{3!\cdot 7}\Bigg).
Usando os valores dos termos já computados (com os sinais):
S_{3}\approx 0,564189584-0,047016632+0,003526810-0,000209686.
Fazendo as somas passo a passo:
0,564189584-0,047016632=0,517172952,
0,517172952+0,003526810=0,520699762,
0,520699762-0,000209686=0,520490076.
Portanto a aproximação obtida é \operatorname{erf}(0,5)\approx 0,520490076 e, pelo argumento do resto alternado, o erro absoluto é menor que a_{4}\approx 1,0197\cdot 10^{-5}<10^{-4}.

Resposta

\displaystyle \operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}\n
\displaystyle \operatorname{erf}(0,5)\approx 0,520490076

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