e pede (a) os autovalores, (b) os autovetores e (c) se T é diagonalizável. O conteúdo aqui é teoria espectral: calcular o polinômio característico de uma matriz triangular por blocos, resolver (T-\lambda I)v=0 para cada autovalor e verificar se a soma das dimensões dos autoespaços é 4.
Passo 2
Para achar os autovalores, usamos que o determinante de uma matriz triangular por blocos é o produto dos determinantes dos blocos diagonais. O bloco superior é
Da primeira x_2=x_4\], da última \(x_3=-x_4 e na segunda x_1=-3x_4. Assim
v_1=(-3,1,-1,1)^\mathsf T
é um autovetor para \lambda=1.
Passo 7
Os autovetores obtidos são quatro e linearmente independentes (cada um associado a uma raiz e respeitando as multiplicidades), gerando um espaço de dimensão 4. Logo T é diagonalizável.
Resposta
a) Os autovalores são \lambda=3, \lambda=2 (multiplicidade 2) e \lambda=1.
b) Autovetores correspondentes: \lambda=3: v_3=(-1,1,0,0)^\mathsf T. \lambda=2: v_{2,1}=(-2,1,0,0)^\mathsf T e v_{2,2}=(0,0,0,1)^\mathsf T. \lambda=1: v_1=(-3,1,-1,1)^\mathsf T.
c) Sim, T é diagonalizável.