Calcular o comprimento de arco da curva em cada um dos intervalos dados:
;
Passo 1
A questão pede para calcular o comprimento de arco da curva
no intervalo
. O conteúdo da matéria é comprimento de arco de uma função
, e vamos precisar usar a fórmula:
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Passo 3
Substituímos
na fórmula do comprimento de arco e montamos a integral em
:
Passo 4
Simplificamos o integrando. Dentro da raiz temos
logo
Passo 5
Para resolver a integral, fazemos a substituição
, o que dá
e
. Os limites passam a ser
e
.
Passo 6
Substituindo na integral, obtemos
Fazemos então
,
, assim
Voltando a
e aplicando os limites, chega-se ao resultado final.
Resposta
[\nL = \frac{1}{27}\bigl[(9\cdot2^{2/3} + 4)^{3/2} - 13^{3/2}\bigr].\n]