Calcular o comprimento de arco da curva em cada um dos intervalos dados: y=x^2 / 3+2, 1 <= x <= 2;

Passo 1

A questão pede para calcular o comprimento de arco da curva y = x^2/3 + 2 no intervalo 1 <= x <= 2. O conteúdo da matéria é comprimento de arco de uma função y = f(x), e vamos precisar usar a fórmula:
L = integrala^b raiz1 + (y')^2 , dx

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de y:
y' = ddxl(x^2/3 + 2r) = 23 x^-1/3

Passo 3

Substituímos y' na fórmula do comprimento de arco e montamos a integral em x:
L = integral1^2 raiz1 + l(tfrac23 x^-1/3r)^2,dx

Passo 4

Simplificamos o integrando. Dentro da raiz temos
1 + 49 x^-2/3 = 9x^2/3 + 49x^2/3,
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raiz1 + (y')^2 = raiz9x^2/3 + 43,x^1/3

Passo 5

Para resolver a integral, fazemos a substituição t = x^1/3, o que dá x = t^3 e dx = 3t^2,dt. Os limites passam a ser t(1)=1 e t(2)=2^1/3.

Passo 6

Substituindo na integral, obtemos
L = integral1^2^1/3 t raiz9t^2 + 4,dt
Fazemos então u = 9t^2 + 4, du = 18t,dt, assim
integral t raiz9t^2+4,dt = 118 integral u^1/2,du = 127 u^3/2 + C
Voltando a t e aplicando os limites, chega-se ao resultado final.

Resposta

[\nL = \frac{1}{27}\bigl[(9\cdot2^{2/3} + 4)^{3/2} - 13^{3/2}\bigr].\n]

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