Resolva o PVI
d yd x+1x cdot y(x) & =h(x) y(1) & =2
onde
h(x)=lll x, & se & 1 <= x <= 2 0, & se & x>2
(Resp. y(x)= 13(x^2+5 / x), & se 1 <= x <= 2 1312, & se x>2 )

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI de uma EDO linear de primeira ordem com coeficiente $1/x$ e termo não homogêneo h(x), satisfazendo y(1)=2. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

O fator integrante é \u(x)=e^{\int(1/x)dx}=x. Multiplicando a EDO por x obtemos \d(xy)/dx = x,h(x). Assim reduzimos o problema a integrar x,h(x) em cada intervalo.

Passo 3

Para 1\le x\le2 temos h(x)=x, logo \d(xy)/dx = x^2. Integrando de 1 até x:
$$
xy( x ) - x y(1) =
\int_{1}^{x} t^2 ,dt =
\frac{x^3-1}{3}.
$$
Como y(1)=2 e x(1)=1, temos 1\cdot2=2, então
$$
xy = 2 +
\frac{x^3-1}{3} =
\frac{x^3+5}{3}.
$$
Isolando y: y(x)=\frac{x3+5}{3x}=\frac{1}{3}\bigl(x2+\frac{5}{x}\bigr).

Passo 4

Para x>2 temos h(x)=0, então \d(xy)/dx=0 e x y = C é constante. Impondo continuidade em x=2,
$$
2,y(2)=2\cdot\frac{1}{3}\bigl(4+\tfrac{5}{2}\bigr)=\frac{13}{3},
$$
de modo que C=13/3 e y(x)=\frac{13}{3x}\quad(x>2).

Resposta

[\
y(x)=\begin{cases}
\dfrac{1}{3}\bigl(x^2+\dfrac{5}{x}\bigr), & 1\le x\le2,\\
\dfrac{13}{3x}, & x>2.
\end{cases}
\]

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