(Resp. y(x)= 13(x^2+5 / x), & se 1 <= x <= 2 1312, & se x>2 )
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI de uma EDO linear de primeira ordem com coeficiente $1/x$ e termo não homogêneo h(x), satisfazendo y(1)=2. Vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
O fator integrante é \u(x)=e^{\int(1/x)dx}=x. Multiplicando a EDO por x obtemos \d(xy)/dx = x,h(x). Assim reduzimos o problema a integrar x,h(x) em cada intervalo.
Passo 3
Para 1\le x\le2 temos h(x)=x, logo \d(xy)/dx = x^2. Integrando de 1 até x:
$$
xy( x ) - x y(1) =
\int_{1}^{x} t^2 ,dt =
\frac{x^3-1}{3}.
$$